(i) 如果$\lambda, \mu, \nu$是可卷积的，那么$\lambda$和$\mu$、$|\lambda| * |\mu|$和$\nu$、$\mu$和$\nu$、$\lambda$和$|\mu| * |\nu|$也是可卷积的，并且有一个

(ii) 如果$\lambda$和$\mu$是可卷积的，以及$|\lambda| * |\mu|$和$\nu$，那么$\lambda, \mu, \nu$是可卷积的。类似地，如果$\mu$和$\nu$是可卷积的，$\lambda$和$|\mu| * |\nu|$也是如此。

这是从§1, No. 2 的第 1 条命题得出的。

G 上可以存在测度$\lambda, \mu, \nu$，使得卷积乘积、$\lambda * \mu$、$(\lambda * \mu) * \nu$、$\mu * \nu$、$\lambda * (\mu * \nu)$ 都已定义，但$(\lambda * \mu) * \nu \neq \lambda * (\mu * \nu)$ (cf. Exer.4)。

令$\rho$为$G$上的下半连续有限函数$> 0$，使得$\rho(st) \leq \rho(s)\rho(t)$适用于$G$中的所有$s, t$。我们用$G$上的$\lambda$测度的$\mathscr{M}^\rho(G)$向量空间表示，使得$\rho$是$\lambda$可积，并用$\| \lambda \|_\rho$（或简单地$\| \lambda \|$）范数$\int_G \rho(s) d|\lambda|(s)$表示空间。当$\rho = 1$时，在$G$恢复集合$\mathscr{M}^1(G)$的有界措施。

令$\lambda, \mu$在$\mathscr{M}^\rho(G)$中，并证明$\lambda$和$\mu$是可卷积的。让$f \in \mathscr{K}_+(G)$。由于 $\rho$ 是 $> 0$ 及下半连续，因此存在常数 $k > 0$ 使得 $f \leq k\rho$。然后

（第 V, §8, No. 3 章，第 8 号提案第 1 条）。因此$(s,t) \mapsto f(st)$是$(\lambda \otimes \mu)$可积的，因此$\lambda$和$\mu$是可卷积的。另一方面，使用 Ch. V（§1，第 4 条命题，§6，第 2 条命题，§8，第 8 条命题第 1 条），并且事实上 $(s,t) \mapsto \rho(s)\rho(t)$ 在 $G \times G$ 中是下半连续的，有

人们看到$\lambda * \mu \in \mathscr{M}^\rho(G)$和$\| \lambda * \mu \| \leq \| \lambda \| \cdot \| \mu \|$。根据命题 1，$\mathscr{M}^\rho(G)$ 为代数。 映射 $\lambda \mapsto \rho \cdot \lambda$ is an isometric 线性映射 $\theta$ of $\mathscr{M}^\rho(G)$ into $\mathscr{M}^1(G)$;如果$\mu \in \mathscr{M}^1(G)$，则局部有界且上半连续的$1/\rho$是局部$\mu$可积，$\rho$是$(1/\rho) \cdot \mu$可积，因此$(1/\rho) \cdot \mu \in \mathscr{M}^\rho(G)$；这证明 $\theta$ 是满射；因此$\mathscr{M}^\rho(G)$是完全规范的代数。最后，很明显，对于$\mathscr{M}^\rho(G)$来说，$\varepsilon_e$是单位元元素，$\mathscr{C}'(G)$是$\mathscr{M}^\rho(G)$的子代数（§1, No. 4，Prop.5的Cor.）。

If $\rho = 1$, Prop. 2, (i) and (ii) also follow from §1, Prop. 2.

For, let $S_i$ be the support of $\mu_i$, and suppose that $S_i$ is compact for $i \neq i_0$.令 K 为 G 的紧致子集。 $(x_1, \ldots, x_n) \in \prod_i S_i$ 的集合使得 $x_1 x_2 \cdots x_n \in K$ 是紧致的，因为条件 $x_i \in S_i$ 对于所有 $i$、$x_1 x_2 \cdots x_n \in K$ 意味着

因此 $\mu_i$ 是可卷积的（§1, No. 4，命题 4）。

This follows from Props. 1 和 3。

我们可以假设$\mu \geqslant 0$。 Let $f \in \mathscr{K}_+(G)$.当$\lambda$是左哈尔测度时，

因此函数 $(x, y) \mapsto f(xy)$ 是 $(\mu \otimes \lambda)$ 可积的，其对 $\mu \otimes \lambda$ 的积分是 $\lambda(f)\|\mu\|$。当 $\lambda$ 是正确的哈尔测度时，人们也会提出类似的观点。

让$f \in \mathscr{K}(G)$。那么$f\chi \in \mathscr{K}(G)$，因此函数

在$G \times G$上可积$\mu \otimes \nu$；因此函数 $(x, y) \mapsto f(xy)$ 可积为 $(\chi \cdot \mu) \otimes (\chi \cdot \nu)$；因此 $\chi \cdot \mu$ 和 $\chi \cdot \nu$ 是可卷积的。而且，

从而$(\chi \cdot \mu) * (\chi \cdot \nu) = \chi \cdot (\mu * \nu)$。

这是从 §1, No. 2，Cor. 得出的。提案 1。

这是从命题 7 中得出的，考虑到 G 的同构 $x \mapsto x^{-1}$ 到相反的群。

由于 G 仍然是局部紧致群，我们假设 G 在局部紧致空间 X 中连续在左侧运算。这个定义（§2, No. 4）是G在$\mathscr{M}(X)$中的连续线性表示$\gamma$（配备$\mathscr{H}(X)$中紧致收敛的拓扑）。

根据§1, No. 5第7号提案，

现在，$\varepsilon_s * \mu = \gamma(s)\mu$（No. 2，公式（5））和

定义共 $\gamma(\lambda)$。

因为，$\mathscr{M}(X)$配备了$\mathscr{H}(X)$的紧收敛拓扑，是准完备的。因此，$\mathscr{C}'(G) \times \mathscr{M}(X)$到$\mathscr{M}(X)$的映射$(\lambda, \mu) \mapsto \gamma(\lambda)\mu$相对于$\mathscr{C}'(G)$的等连续子集和$\mathscr{M}(X)$(§2, No. 6)的紧致子集是低连续的。那么应用提案 12 就足够了。

从$\gamma(s)\mu = \gamma(ss_0^{-1})\gamma(s_0)\mu$开始，由*注1*得出，只需证明映射在形式$(e, \mu_0)$的点与$\mu_0 \in \mathscr{M}_+(X)$的连续性即可。给定函数$f \in \mathscr{K}(X)$和数$\varepsilon > 0$，因此需要证明G中存在e的邻域U和$\mathscr{M}_+(X)$中的$\mu_0$的邻域W，使得关系$s \in U, \mu \in W$意味着

令V为$f$在X中的支持度K的紧邻域，并令$\varphi \in \mathscr{K}_+(X)$使得V上的$\varphi(x) = 1$；在$\mathscr{M}_+(X)$中存在$\mu_0$的邻域$W_0$，使得$a = \sup_{\mu \in W_0} \mu(V)$是有限的：只需取$\mu \in \mathscr{M}_+(X)$的$W_0$集合使得$|\langle \varphi, \mu - \mu_0 \rangle| \leq 1$即可。由于映射 $(s, x) \mapsto sx$ 是连续的，因此另一方面，G 中的 e 存在紧邻$U_0$，使得对于所有 $s \in U_0$ 都有 $sK \subset V$；那么函数$(s, x) \mapsto f(sx)$在$U_0 \times V$中均匀连续，因此存在e的邻域$U \subset U_0$，使得$|f(sx) - f(x)| \leq \varepsilon / 2a$对于所有$s \in U$和$x \in V$。对于 $s \in U$ 和 $\mu \in W_0$，因此我们有

如果$W \subset W_0$是$\mu_0$在$\mathscr{M}_+(X)$中由$\mu \in W_0$测度形成的邻域，使得$\left| \int f(x)\, d\mu(x) - \int f(x)\, d\mu_0(x) \right| \leq \varepsilon / 2$、U和W满足要求。