习题 11, § 3

令 G 为局部紧致群；在 $\mathscr{M}^1(G)$ 上，让我们用 $\mathscr{T}_I$ 拓扑 $\sigma(\mathscr{M}^1(G), \mathscr{K}(G))$ 表示，用 $\mathscr{T}_{III}$ 拓扑 $\sigma(\mathscr{M}^1(G), C^\infty(G))$ 表示，并让我们为分别配备 $\mathscr{T}_I$ 和空间 $\mathscr{M}^1(G)$ 写出$\mathscr{M}_I, \mathscr{M}_{III}$ $\mathscr{T}_{III}$。

a) 设 A 为 $\mathscr{M}_I$ 有界子集，B 为 $\mathscr{M}_{III}$ 的相对紧凑子集。 Show that the restriction to $A \times B$ of the mapping $(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$ of $\mathscr{M}_I \times \mathscr{M}_{III}$ into $\mathscr{M}_I$ is continuous (use Exer. 10 to reduce to evaluating an integral $\iint f(st)\ d\mu(s)\ d\nu(t)$ when $f(st) = \sum_i u_i(s)v_i(t)$ with $u_i$ and $v_i$ in $\mathscr{K}(G)$).

b) Give an example where G is compact (hence $\mathscr{T}_I = \mathscr{T}_{III}$) showing that $(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$, regarded as a mapping of $\mathscr{M}_I \times \mathscr{M}_{III}$ into $\mathscr{M}_I$, is not hypocontinuous with respect to the relatively compact subsets of $\mathscr{M}_I$, nor with respect to the relatively compact subsets of $\mathscr{M}_{III}$ (cf. Exer. 6).

c) 设A、B为$\mathscr{M}_{III}$的两个相对紧凑的子集。证明$\mathscr{M}_{III} \times \mathscr{M}_{III}$到$\mathscr{M}_{III}$的映射$(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$的限制到$A \times B$是连续的（与a）中的方法相同）。

d) 表示由G的开子集的特征函数的线性组合组成的$\mathbf{R}^G$的E子空间，由$\mathscr{T}_{IV}$拓扑$\sigma(\mathscr{M}^1(G), E)$，以及由$\mathscr{M}_{IV}$空间$\mathscr{M}^1(G)$配备$\mathscr{T}_{IV}$。回想一下，由 $\mathscr{T}_{III}$ 和 $\mathscr{T}_{IV}$ 在 $\mathscr{M}^1(G)$ 由……组成有界子集的正测度上诱导的拓扑通常是不同的（Ch. V, §5，Exer. 16 c））。还记得，$\mathscr{M}_{IV}$ 的紧凑子集与 Banach 空间 $\mathscr{M}^1(G)$ 上弱化的拓扑 $\sigma(\mathscr{M}^1(G), (\mathscr{M}^1(G))')$ 的$\mathscr{M}^1(G)$ 相同（Ch. VI, §2，Exer. 12）。证明如果A、B是两个相对紧凑的$\mathscr{M}_{IV}$子集，$\mathscr{M}_{IV} \times \mathscr{M}_{IV}$映射$(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$到$\mathscr{M}_{IV}$限制到$A \times B$是连续的。 （限制注意 A 和 B 是紧致的情况，并从证明开始，前面的映射下的 $A \times B$ 的像对于 $\sigma(\mathscr{M}^1(G), (\mathscr{M}^1(G))')$ 是紧致的；为此，应用 Eberlein 和 Šmulian（TVS，IV, §5, No. 3）的定理，从而约化到证明，如果$(\mu_n), (\nu_n)$是$\mathscr{M}_{IV}$中收敛到0的两个序列，那么序列$(\mu_n * \nu_n)$也是如此；利用V, §5的Prop.12和Exer.15来证明。 $(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$ 对于 $\mathscr{T}_{IV}$ 是连续的，使用 c) 并且事实上 $\mathscr{T}_{III}$ 比 $\mathscr{T}_{IV}$ 更粗糙。）

e) 取$G = \mathbf{R}^2$；设$a, b$是G的典范基向量在$\mathbf{R}$、$\rho_n$$\mathbf{R}$的区间$I = [0, \pi]$上的测度，具有相对于勒贝格测度函数$\sin(2^n x)$的密度，以及$\mu_n$ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ 上的措施$\rho_n \otimes \varepsilon_0$；另一方面，让$\nu_n = \varepsilon_{b/2^n} - \varepsilon_0$在G上。 证明序列$(\mu_n)$在$\mathscr{M}_{IV}$中趋于0，序列$(\nu_n)$在$\mathscr{M}_{III}$中趋于0，但序列$(\mu_n * \nu_n)$在$\mathscr{M}_{IV}$中不趋于0（cf.第1章） V, §5，埃克瑟。 16）。

f) 给出例，其中G是紧致的，并且$(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$，被视为$\mathscr{M}_{IV} \times \mathscr{M}_{IV}$的映射进入$\mathscr{M}_{IV}$，相对于$\mathscr{M}_{IV}$的紧致子集不是低连续的（与Exer.6中的方法相同，对于给定的注意到） $f \in E$存在紧子集$H \subset \mathscr{M}_{IV}$使得函数$t \mapsto \int f(st)\ d\mu(s)$的集合，其中$\mu$在H上运行，有限秩在$\mathbf{R}$上）。