Bài tập 11, § 3

Cho G là một nhóm compact địa phương; trên $\mathscr{M}^1(G)$, ký hiệu $\mathscr{T}_I$ là tôpô $\sigma(\mathscr{M}^1(G), \mathscr{K}(G))$, $\mathscr{T}_{III}$ là tôpô $\sigma(\mathscr{M}^1(G), C^\infty(G))$, và viết $\mathscr{M}_I, \mathscr{M}_{III}$ cho không gian $\mathscr{M}^1(G)$ được trang bị tương ứng bởi $\mathscr{T}_I$ và $\mathscr{T}_{III}$.

a) Cho A là một tập con bị chặn của $\mathscr{M}_I$, và B là một tập con tương đối compact của $\mathscr{M}_{III}$. Chứng minh rằng hạn chế của ánh xạ $(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$ từ $\mathscr{M}_I \times \mathscr{M}_{III}$ vào $\mathscr{M}_I$ trên $A \times B$ là liên tục (dùng Bài tập 10 để rút gọn về việc tính một tích phân $\iint f(st)\ d\mu(s)\ d\nu(t)$ khi $f(st) = \sum_i u_i(s)v_i(t)$ với $u_i$ và $v_i$ thuộc $\mathscr{K}(G)$).

b) Cho một ví dụ trong đó G là compact (do đó $\mathscr{T}_I = \mathscr{T}_{III}$) chứng tỏ rằng $(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$, được xem như một ánh xạ từ $\mathscr{M}_I \times \mathscr{M}_{III}$ vào $\mathscr{M}_I$, không là hypocontinuous đối với các tập con tương đối compact của $\mathscr{M}_I$, cũng như đối với các tập con tương đối compact của $\mathscr{M}_{III}$ (xem Bài tập 6).

c) Cho A, B là hai tập con tương đối compact của $\mathscr{M}_{III}$. Chứng minh rằng hạn chế của ánh xạ $(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$ từ $\mathscr{M}_{III} \times \mathscr{M}_{III}$ vào $\mathscr{M}_{III}$ trên $A \times B$ là liên tục (cùng phương pháp như trong a)).

d) Ký hiệu E là không gian con của $\mathbf{R}^G$ tạo bởi các tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập con mở của G, $\mathscr{T}_{IV}$ là tôpô $\sigma(\mathscr{M}^1(G), E)$, và $\mathscr{M}_{IV}$ là không gian $\mathscr{M}^1(G)$ được trang bị bởi $\mathscr{T}_{IV}$. Nhắc lại rằng các tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{T}_{III}$ và $\mathscr{T}_{IV}$ trên một tập con bị chặn của $\mathscr{M}^1(G)$ gồm các độ đo dương, nói chung là phân biệt (Ch. V, §5, Bài tập 16 c)). Cũng nhắc lại rằng các tập compact của $\mathscr{M}_{IV}$ trùng với các tập compact của $\mathscr{M}^1(G)$ đối với tôpô yếu hơn $\sigma(\mathscr{M}^1(G), (\mathscr{M}^1(G))')$ trên không gian Banach $\mathscr{M}^1(G)$ (Ch. VI, §2, Bài tập.