我们可以假设 $\mu_i$ 为正且$n = 2$。让$f_1 \in \mathscr{K}_+(Y_1)$。由于$\mu_2 \neq 0$，存在$f_2 \in \mathscr{K}_+(Y_2)$，使得$f_2 \circ \varphi_2$不是$\mu_2$可以忽略不计。 函数$(x_1, x_2) \mapsto f_1(\varphi_1(x_1)) f_2(\varphi_2(x_2))$本质上是$\mu$可积且连续的，因此$\mu$可积。因此，存在$x_2 \in X_2$使得$f_2(\varphi_2(x_2)) \neq 0$并且使得函数$x_1 \mapsto f_1(\varphi_1(x_1)) f_2(\varphi_2(x_2))$是$\mu_1$可积。因此 $f_1 \circ \varphi_1$ 是 $\mu_1$ 可积，

²在引理之后是引用的第11号提案的部分b)中的归纳，即$n = 2$的情况； 相应的导致第 1 章第一版。 V（§8, No. 3，提案 7）不包括部分 b) 的结果。

这证明$\varphi_1$是$\mu_1$-正确的。有人对 $\varphi_2$ 也有类似的争论。然后是第 11 章第 11 章的 $\varphi(\mu) = \bigotimes_i \varphi_i(\mu_i)$。 V, §8, No. 5。

以下引理完成了第 4 章的命题 4。 V, §6, No. 3。\脚注{这个引理的断言实际上是引用的第4条提案中的部分*b*)，部分未包含在第1章第1版中。 V.}

设 K' 是 T' 的紧子集。那么$K'' = \pi'(K')$是紧的，因此$\pi''(K'')$本质上是$\mu$可积，因此$\pi^{-1}(K') \subset \pi''(K'')$本质上是$\mu$可积，因此$\pi$是$\mu$本征。那么 $\pi'$ 是 $\pi(\mu)$-proper，$\pi''(\mu) = \pi'(\pi(\mu))$ 是 Ch 。 V, §6, No. 3，提案 4。

(ii) 假设$\psi$和$\varphi_i$连续，并令$\mu_{ij}$分别为$X_{ij}$和$(\psi \circ \varphi)$可卷积的测度$\neq 0$；那么，对于每个 i，$\mu_{ij}$ ($1 \leq j \leq n_i$) 是 $\varphi_i$ 可卷积的，度量 $*_j |\mu_{ij}|$ 是 $\psi$ 可卷积的，并且公式 (3) 成立。

考虑所有相关措施都是$\geq 0$的情况就足够了。

让我们将自己置于（i）的假设之下。 映射 $\varphi$ 适合 $\bigotimes_{i,j} \mu_{ij}$，并且

（第 V, §8, No. 5 章，第 11 条提案）。 映射 $\psi \circ \varphi$ 适合 $\bigotimes_{i,j} \mu_{ij}$，并且

让我们将自己置于（ii）的假设之下。首先，引理2证明$\varphi$适合$\bigotimes_{i,j} \mu_{ij}$。 引理 1 然后证明对于每个 $i$，$\varphi_i$ 对于 $\bigotimes_j \mu_{ij}$ 是正确的，并且

而且，当这些断言得到验证后，

对于，让$h = \varphi' \circ f = g \circ \varphi$。根据命题 1，条件 (i) 和 (ii) 分别等价于以下条件： (iii) $\mu_i$ 是 $h$ 可卷积的。 当这样的时候，

例如，令 $K$ 为 $Y$ 的紧致子集。 $\mu = \mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_n$ 的支持度是 $S = \prod_i S_i$（第 III, §4, No. 2 章，提案 2）。因而$\overline{\varphi}(K) \cap \left( \prod_i X_i - S \right)$是$\mu$-可以忽略不计。另一方面，$\overline{\varphi}(K) \cap S$ 是紧凑的。因而$\overline{\varphi}(K)$是$\mu$可积的。

b) 如果$\varphi$连续且$\mu_i$为正，那么$*_{i} \mu_i$的支撑就是$\varphi \left( \prod_i S_i \right)$的闭包。

设$S = \prod_i S_i$为$\mu$的支撑。 $*_{i} \mu_i$ 的支持由 Ch. 包含在 $\overline{\varphi(S)}$ 中。 V, §6, No. 2，科。命题 2 中的 3。 如果 $\varphi$ 是连续的并且 $\mu_i$ 是正数，那么 $*_{i} \mu_i$ 的支持度是 $\overline{\varphi(S)}$（*loc. cit.*，命题 2 的 Cor. 4）。

说 $\lambda$ 和 $\mu$ 是 $\varphi$ 可卷积，意味着对于每个 $f \in \mathscr{H}(Z)$，$f \circ \varphi$ 是 $(\lambda \otimes \mu)$ 可积，也就是说，对于每个 $f \in \mathscr{H}(Z)$ 函数 $(x, y) \mapsto \langle f, \varepsilon_{\varphi(x,y)} \rangle$ 是$(\lambda \otimes \mu)$可积，也就是说，$X \times Y$到$\mathscr{M}(Z)$的映射$(x, y) \mapsto \varepsilon_{\varphi(x,y)}$对于$\sigma(\mathscr{M}(Z), \mathscr{K}(Z))$是可标量$(\lambda \otimes \mu)$可积的。如果是这样的话，那么

从而$\lambda * \mu = \int_{X \times Y} \varepsilon_{\varphi(x,y)} d\lambda(x) d\mu(y)$。

假设$\lambda$和$\mu$是$\varphi$可卷积的。对于每个$f \in \mathscr{K}(Z)$，$f \circ \varphi$是$(|\lambda| \otimes |\mu|)$可积，因此函数$x \mapsto \int_Y f(\varphi(x, y)) d|\mu|(y) = \langle f, \varepsilon_x * |\mu| \rangle$（由假设为所有$x \in X$定义）是$\lambda$可积；因此 $x \mapsto \varepsilon_x * |\mu|$ 对于 $\sigma(\mathscr{M}(Z), \mathscr{K}(Z))$ 是 $\lambda$ 标量可积的，并且

从而$\lambda * \mu = \int_X (\varepsilon_x * \mu) d\lambda(x)$。相反，假设 X 的映射 $x \mapsto \varepsilon_x * |\mu|$ 到 $\mathscr{M}(Z)$ 对于 $\sigma(\mathscr{M}(Z), \mathscr{K}(Z))$ 是可标量 $\lambda$ 可积的。让$f \in \mathscr{K}_+(Z)$。那么函数 $(x, y) \mapsto f(\varphi(x, y))$ 是连续的且（第 V, §8, No. 3 章，命题 5）

因此$f \circ \varphi$是$(\lambda \otimes \mu)$可积，因此$\lambda$和$\mu$是$\varphi$可卷积。