用$\Phi$表示这个映射，对于所有$\lambda \in \mathbf{R}$来说，$\Phi(\lambda z') = \lambda \Phi(z')$就是直接的。一切都归结为展示$\Phi(y' + z') = \Phi(y') + \Phi(z')$。 集合$\mu = |y' \circ m| + |z' \circ m|$；根据Lebesgue–Nikodym 定理，可以写出$y' \circ m = g \cdot \mu$和$z' \circ m = h \cdot \mu$，其中$g$和$h$是两个有界且局部$\mu$可积的数值函数（Ch.V, §5, No. 5，Th.2）；此外，$(y' \circ m)^+ = g^+ \cdot \mu$和$(y' \circ m)^- = g^- \cdot \mu$，以及类似的关系保持，其中$y'$被$z'$（分别$y' + z'$）替换，$g$被$h$（分别$g + h$）替换。既然如此，$f$本质上是$\mu$可积的直接的（第V, §2, No. 2章，第3命题Cor.1），并且关系需要证明约化到$(g + h)^+ - (g + h)^- = (g^+ - g^-) + (h^+ - h^-)$，这是显而易见的。

考虑到所有$y \in G'$的等式$y' \circ u \circ m = {}^t u(y') \circ m$，命题是显而易见的。

一般来说，如果$f \in \mathscr{L}(m)$，$\int f dm$属于积分到${F'}^*$，但不积分到$F$（参见上面的*例*）。然而：

令$A$为$f \in \mathscr{L}(m)$的集合，使得$\sup_{t \in T} |f(t)| \leq 1$，并令$B = A \cap \mathscr{K}(T)$；由假设可知，$m(B)$在$F$中是弱相对紧的，因此只要证明对于拓扑$\sigma({F'}^*, F')$，$m(A)$包含在$m(B)$的闭包中（在${F'}^*$中）；由于$m(B)$是凸且平衡的，只需证明$F'$中$m(B)$的极点包含在$m(A)$的极点中（TVS，II, §6, No. 3，Th.1）。现在，对于线性形式$z' \in F'$到属于到$(m(B))^\circ$，对于每个函数$g \in B$，$|\langle z', m(g)\rangle| = |\int g d(z'\circ m)| \leq 1$是充分必要的，这意味着标量测度$|z'\circ m|$是有界的并且是范数 $\leq 1$（第III, §1, No. 8）；但通过（2），后者条件意味着$|\langle z', m(f)\rangle| \leq 1$对于每个函数$f \in A$，从而$z' \in (m(A))^\circ$。

第一个断言可以立即从命题3推导出来：如果$f$有界并且有紧支撑，并且如果U是$f$支撑的相对紧开邻域，那么$m$到子空间$\mathscr{H}(U)$的限制是$m_U$的测度U满足第3条的条件和$\int f dm_U = \int f dm$（第V, §7, No. 1，Th.1），因此$\int f dm \in F$。

现在让 $f$ 为 $\mathscr{L}(m)$ 中的任意元素；对于 T 的每个紧凑子集 K 和每个整数 $n > 0$，令 $f_{n,K}$ 为 T 上的数值函数，定义如下： if $t \notin K$, $f_{n,K}(t) = 0$；如果$t \in K$和$|f(t)| \leq n$，$f_{n,K}(t) = f(t)$；最后，如果$t \in K$和$|f(t)| > n$，则$f_{n,K}(t) = nf(t)/|f(t)|$。 It is clear that for every $t \in T$, $f(t)$ is the limit of $f_{n,K}(t)$ with respect to the product filter of the Fréchet filter by the section filter of the (increasing directed) ordered set of compact subsets of T. 从$|f_{n,K}| \leq |f|$开始，它遵循勒贝格的定理和第10章第10条命题。 V, §1, No. 3，应用于每个标量度量$|z'\circ m|$，$f_{n,K}$相对于前面的过滤器在$\mathscr{L}(m)$中收敛到$f$。 因而，整的$\int f dm$位于$m(f_{n,K})$的集合M的${F'}^*$（对于拓扑$\sigma({F'}^*, F')$）的闭包中。 但推论的第一个部分表明$M \subset F$，另一方面，对于每个$z' \in F'$，都有$|\langle z', m(f_{n,K})\rangle| \leq \int |f| d|z'\circ m|$，这表明M有界于$F_\sigma$，因此也在F中（TVS，IV, §1, No. 1，命题1）。 因而，§1, No. 2的引理1表明$\int f dm \in F''$。

因为，对偶$F'$可以用$\prod_{i=1}^n F_i'$来识别，这样如果$x = (x_i) \in F$，$z' = (z_i') \in F'$，则$\langle x, z' \rangle = \sum_{i=1}^n \langle x_i, z_i' \rangle$。如果对每个$x \in F$都有$|\langle x, z' \rangle| \leq q(x)$，那么特别是对$1 \leq i \leq n$有$|\langle x_i, z_i' \rangle| \leq q_i(x_i)$，逆命题是明显的，这表明集合$A'_q$是$A'_{q_i}$的乘积。由于假设 $|z_i' \circ m_i| \leq q_i(m_i)$ 对于 $z_i' \in A'_{q_i}$，因此可以得出：

对于每个$z' \in A'_q$，这证明了命题。

$^1$ 专业人士。

对于，

凭借（1）和关系$|z' \circ m| \leq q(m)$对于$z' \in A'_q$。

我们将利用以下辅助结果。令 $(\mu_\iota)_{\iota \in I}$ 为 T 上递增有向测度族。让我们用 T 上有限数值函数的 $\mathscr{L}^1((\mu_\iota)_{\iota \in I})$ 向量空间表示，本质上对于每个 $\iota \in I$ $\mu_\iota$ 可积，配备由半范数 $f \mapsto \mu_\iota(|f|)$ 定义的拓扑 （$\iota \in I$）。令$\mathscr{L}_0$为乘积$g \varphi_K$生成的$\mathscr{L}^1((\mu_\iota)_{\iota \in I})$的线性子空间，其中g运行于T上连续有限数值函数的集合，并且K运行于T的紧致子集的集合。

为了证明a)，我们可以将自己限制在形式$f = g \varphi_K$($g \in \mathscr{C}(T)$)的元素的情况，K紧缩在T)中。 直接的（凭借Urysohn的定理），$f$位于形式$gh$的函数的集合B闭包中，其中h将T的连续映射的集合描述为$[0,1]$，在 K 上等于 1，在 K 的固定紧邻域 H 的补集上等于 0。此外，集合 B 是有界的，因为$\mu_\iota(|gh|) \leq \mu_\iota(|f\varphi_H|)$ 对于每个函数 h 都具有前述属性。

现在让我们证明 b);我们可以将自己限制在元素$f \geq 0$或$\mathscr{L}^1((\mu_\iota)_\iota \in I)$的情况。对于每个$\iota \in I$和每个$\varepsilon > 0$，都存在T的紧子集$K(\iota, \varepsilon)$，使得$f$到$K(\iota, \varepsilon)$的限制是连续的并且$|\mu_\iota(|f - f\varphi_{K(\iota, \varepsilon)}|)| \leq \varepsilon$。很明显，$f$处于$f\varphi_{K(\iota, \varepsilon)}$的集合C闭包中（其中$\iota \in I,\ \varepsilon > 0$）。凭借Urysohn的定理，$\mathscr{L}_0$中包含集合C；此外，它是有界的，因为$\mu_\kappa(f\varphi_{K(\iota, \varepsilon)}) \leq \mu_\kappa(f)$对于所有$\iota \in I,\ \kappa \in I$和$\varepsilon > 0$。

Let us now prove Prop. 6: for every function $g \in \mathscr{K}(T)$ and every continuous seminorm q on F, $q\left( \int g\,dm \right) \leq \int |g|\,d(q(m))$ (Prop. 5), which implies that the mapping $g \mapsto \int g\,dm$ of $\mathscr{K}(T)$ into F is continuous when $\mathscr{K}(T)$ is equipped with the topology induced by that of $\mathscr{L}^1((q(m))_{q \in Q})$ (Q the set of continuous semi-norms on F). 因而，根据前面的引理和TVS的第10条命题III, §1, No. 6，这个映射可以通过连续性进行扩展，首先将$\mathscr{L}_0$的连续线性映射$v_0$延伸到F中，然后将$\mathscr{L}^1((q(m))_{q \in Q})$的连续线性映射$v$延伸到F中。 此外，对于每个$z' \in F'$关系$\langle z', v(f) \rangle = \int f\,d(z' \circ m)$成立，通过$v$的定义，对于每个$f \in \mathscr{K}(T)$；由于$|z' \circ m| \leq q(m)$对于$q(z) = |\langle z', z \rangle|$，映射$f \mapsto \int f\,d(z' \circ m)$在$\mathscr{L}^1((q(m))_{q \in Q})$上是连续的，因此再次根据连续性，关系$\langle z', v(f) = \int f\,d(z' \circ m)$对于每个函数$f \in \mathscr{L}^1((q(m))_{q \in Q})$成立。 接下来是$v(f) = \int f\,dm$，从而完成证明。

对于 (No. 1, 注 3)，只需证明设定 $m(g) = \int gf\,d\mu$、$z' \circ m$ 是每个 $z' \in F'$ 的标量测度。但从$z'(m(g)) = \int g\langle z', f \rangle\,d\mu$开始，一个人就有了$z' \circ m = \langle z', f \rangle \cdot \mu$，从而我们的断言。

a) 如果对于$T$的每个紧致子集$K$，上积分$\int_K^*(q \circ f)\,d\mu$是有限的，则$m$是$q$可大化的。

b) 如果$m$是$q$可大化的，那么$q(m)$有基$\mu$；如果在加法 $f$ 中，$\mu$ 可测为 $T$ 的映射到 $F_\sigma$，则 $q \circ f$ 是局部 $\mu$ 可积且 $q(m) = (q \circ f) \cdot \mu$。

a) 对于$A'_q$的每个有限子集$J$，让我们用$\lambda_J$表示测度$|z' \circ m|$的上界，其中$z'$超过$J$；如果$g_J = \sup_{z' \in J} |\langle z', f \rangle|$则$\lambda_J = g_J \cdot \mu$（第V, §5, No. 2章，提案2）。对于$T$的每个相对紧开子集$U$，令$\lambda_{J,U}$为$\lambda_J$到$U$的限制；让我们首先证明，当$J$超过$A'_q$的有限子集的有向集合$\mathfrak{F}$时，族$(\lambda_{J,U})$在$\mathscr{M}(U)$中上界。事实上，对于$K(U)$中的每一个函数$h \geq 0$，

从而我们的断言（章节II, §2, No. 2）。令 $\nu_U$ 为$\mathscr{M}(U)$ 中该测度系列的至高无上。如果$U'$是$T$的第二个相对紧开子集，使得$U \subset U'$，则$\nu_U$是$\nu_{U'}$到$U$的限制，直接从测度递增有向集合的上界表达式如下（第 II, §2, No. 2 章）以及$\lambda_{J,U}$ 是 $\lambda_{J,U'}$ 的限制到 $U$。因此，存在且仅有一个正测度$\nu$，其限制与每个$U$的$\nu_U$（第III, §2, No. 1，命题1），并且很明显$\nu = q(m)$。

b) 由于测度$\lambda_J$有基$\mu$，因此它们的上界$q(m)$也有（第V, §5, No. 5，第2章）。如果$f$对于$F$上的拓扑$\sigma(F, F')$是$\mu$可测的，则立即从定义得出$T$的映射$g : t \mapsto (g_J(t))_{J \in \mathfrak{F}}$到乘积空间 $\mathbf{R}^\mathfrak{F}$ 是 $\mu$ 可测量的。 $q \circ f = \sup_{J \in \mathfrak{F}} g_J$的限制对于$g$连续的每个紧凑体$T$的子集来说是下半连续的；因而 $q \circ f$ 是 $\mu$ 可测的（第 8 章第 IV, §5, No. 5 章和第 15 号建议No. 10）。令 $K$ 为 T 的紧子集；它承认$\mu$可忽略的集合的划分由……组成和紧集的序列$(K_n)$，其中$g$是连续的。然后对所有 $n$（第 IV, §1, No. 1、第 1 章和第 V, §7, No. 1、第 1 条提案）使用 $\int_{K_n}^*(q \circ f)\, d\mu = \sup_J \int_{K_n} g_J\, d\mu \leq \int_{K_n} dq(m)$、从而 $\int_K^*(q \circ f)\, d\mu = \sum_n \int_{K_n}^*(q \circ f)\, d\mu \leq \int_K dq(m)$。但这证明了$q \circ f$是局部$\mu$可积的，并且$\lambda_J \leq (q \circ f) \cdot \mu \leq q(m)$对于所有$J \in \mathscr{F}$； 从而，定义，$q(m) = (q \circ f) \cdot \mu$。

令$(e_i)_{1 \leq i \leq n}$和$(e'_i)_{1 \leq i \leq n}$是F和F'的对偶基（A，II, §2, No. 6），对于所有i，$|e'_i| = 1$。那么对于每个指标 i 都有 $|e'_i \circ m| \leq |m|$，因而 (Ch. V, §5, No. 5, Th. 2) $e'_i \circ m = h_i \cdot |m|$，其中 $h_i$ 有界且 $|m|$ 可测。 设定$h = \sum_{i=1}^n h_i \cdot e_i$，因此我们有$m = h \cdot |m|$。如果 $m = f \cdot |m|$，第 8 条命题表明 $|m| = |f| \cdot |m|$、从而 $|f(t)| = 1$ 几乎在所有地方都适用于 $|m|$（V, §5, No. 3 章，第 3 条命题第 2 章）。最后的断言立即来自第8号提案。