Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 2。可以忽略不计的函数和集合

1. 可忽略不计的积极函数

定义 1 08Q8

— 给定局部紧凑空间 X 上的测度 μ\mu，*数值函数* f≥0f \geq 0（*是否有限*）*如果* ∣μ∣∗(f)=0|\mu|^*(f) = 0，则在 X 上定义的测度对于μ\mu 来说可以忽略不计。

被以下引用 1

被以下引用 § 2. 。可以忽略不计的函数和集合

然后，我们还说 ff 是 μ\mu*-可忽略*，或者如果不会导致混淆，则简称为“可忽略”。

命题 1 08Q9

— 如果 ff 是可忽略不计的函数 ≥0\geq 0，*则每个数值函数* gg 使得 0≤g≤αf0 \leq g \leq \alpha f（α\alpha 标量 >0> 0）*可以忽略不计*。对于，0≤∣μ∣∗(g)≤α∣μ∣∗(f)=00 \leq |\mu|^*(g) \leq \alpha |\mu|^*(f) = 0。

命题 2 08QA

— 和和序列 (fn)(f_n) 可忽略不计的函数 ≥0\geq 0 可忽略不计。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 命题 13, IV § 1

被以下引用 例, IV § 1

对于，∣μ∣∗(∑nfn)≤∑n∣μ∣∗(fn)=0|\mu|^*(\sum_n f_n) \leq \sum_n |\mu|^*(f_n) = 0（§ 1, No. 3，提案 13）和sup⁡nfn≤∑nfn\sup_n f_n \leq \sum_n f_n。

命题 3 08QB

为了使XX上的下半连续函数f≥0f \geq 0可以忽略不计，在μ\mu的支持下ff为零是必要且充分的。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了 命题 8, III § 2, 命题 9, III § 2, IV § 1. 。正函数的上积分

被以下引用 命题 5

如果∣μ∣∗(f)=0|\mu|^*(f) = 0，则对于每个函数g∈K+g \in \mathscr{K}_+，∣μ∣(g)=0|\mu|(g) = 0使得g≤fg \leq f；由此得出（第 III, § 2, No. 3 章，第 9 条命题）gg 在 μ\mu 的支撑SS 上是零；因为 ff 是函数 g∈K+g \in \mathscr{K}_+ 的上封套，因此 g≤fg \leq f (§ 1, No. 1, 引理), f(x)=0f(x) = 0 on SS。相反，如果f(x)=0f(x) = 0在SS上，那么对于每个函数g∈K+g \in \mathscr{K}_+，g(x)=0g(x) = 0在SS上，使得g≤fg \leq f，因此（第III, § 2, No. 3，第8条命题）∣μ∣(g)=0|\mu|(g) = 0，其中， 定义，意味着∣μ∣∗(f)=0|\mu|^*(f) = 0。

2. 可以忽略不计集合

定义 2 08QC

给定局部紧凑空间XX上的措施μ\mu，XX的子集AA据说对于措施μ\mu如果∣μ∣∗(A)=0|\mu|^*(A) = 0可以忽略不计。

也有人说 AA 是 μ\mu - 可以忽略不计，或者如果不会导致混淆，则可以忽略不计。同样的道理，特征函数 φA\varphi_A 可以忽略不计。

命题 4 08QD

每一个子集可以忽略不计的集合都是可以忽略不计的；每个可数的并可以忽略不计的集合都是可以忽略不计的。

被以下引用 1

被以下引用 命题 8

这是道具的直接的推论。 1 和 2。

例 08QE

— 令 μ\mu 为R\mathbf{R} 的勒贝格测度。每集合 {x0}\{x_0\} 减少到点都可以忽略不计（cf. § 1, No. 3，*注* 1）。因此，*R\mathbf{R} 中的每个可数子集对于勒贝格测度来说都是可以忽略不计的*。这个命题的逆命题不正确（§ 4，Exer.4 b））。

引用了 1

引用了 IV § 1. 。正函数的上积分

命题 5 08QF

μ\mu的支持SS的补集是最大的，在XX中可以忽略不计的开放集合。

引用了 1 · 被以下引用 4

引用了 命题 3

被以下引用 命题 9, IV § 4. 。 可积函数和集合, 命题 1, V § 1, 推论 1, V § 5

因为，根据命题3，在阶中，开集合GG可以忽略不计，G∩S=∅G \cap S = \varnothing即G⊂CSG \subset \mathbf{C}S是充分必要的。

3. 属性几乎无处不在

令 XX 为局部紧致空间，μ\mu 为XX 的测度。如果 P{x}P\{x\} 是性质，性质 « P{x}P\{x\} 几乎处处（相对于 μ\mu）» 通过定义等价于 x 的性质 « 集合，使得 (x∈X and not P{x})(x \in X \text{ and not } P\{x\}) * 是 μ\mu*-可忽略 »。

定理 1 08QG

— 在阶中，XX 上定义的数值函数（有限或非有限）f⩾0f \geqslant 0 可以忽略不计，f(x)=0f(x) = 0 几乎无处不在是必要且充分的。

被以下引用 4

被以下引用 § 2. 。可以忽略不计的函数和集合, 命题 3, IV § 3, 例, IX § 1, 推论, VI § 1

条件是必要的。例如，假设ff可以忽略不计，并令NN为x∈Xx \in X的集合，使得f(x)≠0f(x) \neq 0；那么 φN⩽sup⁡n(nf)\varphi_N \leqslant \sup_n (n f)，因此 φN\varphi_N 可以忽略不计（No. 1，提案 1 和 2）。

条件就足够了。假设点的集合 NN，其中 f(x)≠0f(x) \neq 0 可以忽略不计；那么 f⩽sup⁡nnφNf \leqslant \sup_n n \varphi_N，因此 ff 可以忽略不计（No. 1，提案 1 和 2）。

命题 6 08QH

— 如果ff和gg是在XX上定义的两个函数⩾0\geqslant 0（有限或非有限），使得f(x)=g(x)f(x) = g(x)几乎无处不在，则∣μ∣∗(f)=∣μ∣∗(g)|\mu|^*(f) = |\mu|^*(g)。

被以下引用 5

被以下引用 命题 10, 命题 3, IV § 3, 推论 1, IV § 4, 命题 7, V § 1, 命题 2, V § 3

令 NN 为点 x∈Xx \in X 的可忽略不计的集合，使得 f(x)≠g(x)f(x) \neq g(x)。除了NN的点之外，函数inf⁡(f,g)\inf(f, g)和sup⁡(f,g)\sup(f, g)相等，只要假设f⩽gf \leqslant g即可证明命题。令hh在NN的点处函数等于+∞+\infty，并在CNCN处等于0；那么f⩽g⩽f+hf \leqslant g \leqslant f + h，因此

∣μ∣∗(f)⩽∣μ∣∗(g)⩽∣μ∣∗(f+h)⩽∣μ∣∗(f)+∣μ∣∗(h)=∣μ∣∗(f) |\mu|^*(f) \leqslant |\mu|^*(g) \leqslant |\mu|^*(f + h) \leqslant |\mu|^*(f) + |\mu|^*(h) = |\mu|^*(f)

（因为 hh 可以忽略不计），从而命题。

命题 7 08QI

— 如果 ff 是在 XX 上定义的函数 ⩾0\geqslant 0，使得 ∣μ∣∗(f)<+∞|\mu|^*(f) < +\infty，则 f(x)f(x) 几乎处处是有限的。

被以下引用 2

被以下引用 命题 6, IV § 3, V § 5. 。由数值密度定义的度量

例如，令NN为点x∈Xx \in X中的集合，使得f(x)=+∞f(x) = +\infty；对于每个整数 nn、nφN⩽fn \varphi_N \leqslant f、从而 n∣μ∣∗(φN)⩽∣μ∣∗(f)n |\mu|^*(\varphi_N) \leqslant |\mu|^*(f)；因为nn是任意大的，∣μ∣∗(N)=0|\mu|^*(N) = 0。

然而，即使 XX 是紧致的，函数 f⩾0f \geqslant 0 定义在 XX 上并且在任何地方有限都可以有无限上积分，如例 X=[0,1]X = [0, 1]、f(x)=1/xf(x) = 1/x 对于 x>0x > 0 和 f(0)=0f(0) = 0 所示，μ\mu 是勒贝格测度XX。

4. 类相当于函数

令 μ\mu 为局部紧凑空间 XX 的测度。给定集合FF，XX的两个映射f,gf, g进入FF被认为是*等价于*μ\mu（或μ\mu-*等价*，或者简单地*等价*，如果不会出现混淆）如果f(x)=g(x)f(x) = g(x)*几乎XX 中随处*。由于两个可以忽略不计的集合并可以忽略不计，这样一来确实可以将定义中的一个等价关系中的XX所有映射中的集合FXF^X转化为FF；当我们谈到这样的函数ff的*等价类*时（没有进一步说明），它将被理解为所有函数中的类几乎在任何地方都等于ff；在这个章以及随后的那些中，我们将用记号f~\tilde{f}来表示这个类。

命题 8 08QJ

设*(Fn)(F_n)*为集合的可数族（有限或无限）。对于每个指标 n，让* fn,gnf_n, g_n 成为X的两个等价的映射到 FnF_n； 然后，存在一个可忽略的集合 H，使得对于每个 x∉Hx \notin H，fn(x)=gn(x)f_n(x) = g_n(x) 对于所有 n。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 命题 4

被以下引用 § 2. 。可以忽略不计的函数和集合

对于x∈Xx \in X的集合HnH_n，使得fn(x)≠gn(x)f_n(x) \neq g_n(x)可以忽略不计，因此它们的并H也可以忽略不计（No. 2，命题4），而这个集合满足要求。

推论 08QK

If* φ\varphi is a mapping of ∏nFn\prod_n F_n into a set G, then the mappings φ((fn))\varphi((f_n)) and φ((gn))\varphi((g_n)) of X into G are equivalent.

我们用每个函数φ((fn))\varphi((f_n))的φ((f~n))\varphi((\tilde{f}_n))等价类来表示，其中fnf_n是类f~n\tilde{f}_n中的任意函数。

特别是，如果 F 是 R\mathbf{R} 上的 向量空间，则定义 f~+g~\tilde{f} + \tilde{g} 和 αf~\alpha \tilde{f} 分别为 f+gf + g 和 αf\alpha f 的等价类（ff 和 gg 分别为映射） X 代入 F，α\alpha 为标量）；这样，我们将X映射等价类集合代入F，得到一个*向量空间*结构：而且，这是FXF^X的*商空间*结构通过线性映射 ff的子空间使得f~=0~\tilde{f} = \tilde{0}（函数几乎到处都是零），我们也称之为*可忽略*函数（F中的值）。 一个定义类似地乘积g~f~\tilde{g} \tilde{f}，其中f~\tilde{f}是F中X的映射的等价类，g~\tilde{g}是在X上定义的（有限）数值函数的等价类：因此，F 中的 X 映射等价类集合在 X 上定义的有限数值函数的等价类集合上配备有*模* 结构（其本身配备有*环*结构）。 如果F是R\mathbf{R}上的*代数*，则将X的映射等价类集合上的代数结构类似地变成F中的一个定义。

设 F 是一个*可度量*拓扑空间，并考虑 F 上的统一结构与其拓扑兼容，并由伪计量学ρn\rho_n（GT、IX, §§1 和 2）的*可数*族定义；在阶中，X 的两个映射 f,gf, g 等价于 F 中，函数 ρn(f,g)\rho_n(f, g) 的数值*可忽略不计*是充分必要的；因为，这相当于说，X中存在一个可忽略不计的集合 H，这样，对于每个x∉Hx \notin H，对于所有nn，ρn(f(x),g(x))=0\rho_n(f(x), g(x)) = 0，即f(x)=g(x)f(x) = g(x)。 特别地，如果 F 是可度量的局部凸空间，且 (qn)(q_n) 是定义 F 的拓扑的可数半范数族（TVS，II, §4, No. 1），则在阶中，X 的两个映射 f,gf, g 等价于 F，则所有数值是充分必要的函数 qn(f(x)−g(x))q_n(f(x) - g(x)) 可以忽略不计。

命题 9 08QL

— 设ff和gg为XX的两个连续映射，形成豪斯多夫拓扑空间FF；为了使ff和gg等价，μ\mu的支持度每点有f(x)=g(x)f(x) = g(x)是必要且充分的。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 命题 5

被以下引用 推论 4, IV § 5

对于x∈Xx \in X的集合，使得f(x)≠g(x)f(x) \neq g(x)是开集合（GT，I, §8, No. 1）；为了使其可以忽略不计，它不与 μ\mu 的支持相交是必要且充分的（No. 2，命题 5）。

命题 10 08QM

— 令FF为R\mathbf{R}上的Hausdorff局部凸空间，使得FF序列(an′)(a'_n)的对偶F′F'中存在弱拓扑σ(F′,F)\sigma(F', F)稠密（TVS，II, §6, No. 2）。在阶中，XX到FF的两个映射f,gf, g是等价的，对于每个nn，数值函数、⟨f(x),an′⟩\langle f(x), a'_n \rangle和⟨g(x),an′⟩\langle g(x), a'_n \rangle是等价的充分必要。

引用了 2

引用了 推论 2, III § 3, 命题 6

条件显然是必要的。相反，如果满足，则存在可忽略的集合HH，使得对于每个x∉Hx \notin H，对于每个nn有⟨f(x),an′⟩=⟨g(x),an′⟩\langle f(x), a'_n \rangle = \langle g(x), a'_n \rangle；这意味着F′F'上的弱连续线性形式z′↦⟨f(x),z′⟩z' \mapsto \langle f(x), z' \rangle和z′↦⟨g(x),z′⟩z' \mapsto \langle g(x), z' \rangle在每个点an′a'_n处都是相等的，因此凭借假设是相同的，这证明了f(x)=g(x)f(x) = g(x)对于所有x∉Hx \notin H。

注，第 10 条命题的假设尤其适用于当 FF 是可度量且可分离的局部凸空间时（TVS，III, §3, No. 4，第 6 条命题的 Cor.2）。

5. 函数几乎到处都有定义

In conformity with the definition in No. 3, a mapping ff of a subset AA of XX into a set FF is said to be defined almost everywhere if the complement of the set AA on which it is defined is a negligible set. 我们再次调用ff的等价类，并用f~\tilde{f}表示，在所有XX上定义的每个函数的等价类等于定义ff的点x∈Xx \in X处的f(x)f(x)；显然，这个类仅取决于ff。 如果f~=g~\tilde{f} = \tilde{g}，则几乎在任何地方定义的两个函数f,gf, g再次被认为是等价的：因此，这意味着点的集合，其中f(x)f(x)和g(x)g(x)都已定义并且相等，其补数可以忽略不计。

It follows at once that Prop. 8 of No. 4 and its corollary may be generalized to the case where in their statements it is assumed only that each of the functions fn,gnf_n, g_n is defined almost everywhere; then the functions φ((fn))\varphi((f_n))

1 原文为 de 型 dénombrable，也可译为“可数型”（GT、IX, §2, No. 8、Def.4）或“第二可数”，或“满足可数性第二公理”。在此处引用的 TVS 推论中，项“满足可数性第一公理”应替换为前述项之一。

和 φ((gn))\varphi((g_n)) 本身几乎到处都有定义； φ((fn))\varphi((f_n))的等价类又是φ((f~n))\varphi((\tilde{f}_n))。

函数几乎到处都有定义，向量空间 F 中的值，如果等于 0，则再次被称为“可忽略”。如果 f 是可忽略的函数，且值在 F 中，并且 u 是 F 到向量空间 G 中的线性映射，则复合函数 u∘fu \circ f（几乎到处都有定义）可以忽略不计；类似地，对于每个（有限）数值函数 g（几乎在任何地方都定义），函数 gfgf（几乎在任何地方都定义）可以忽略不计。

必须注意观察到，在函数的集合以及 F 中的值且几乎到处都有定义的情况下，合成 (f,g)↦f+g(f, g) \mapsto f + g 的内部律 * 不是群运算*，因为，而函数 0 确实是一个中性元素律，如果 f 不是处处定义，则不存在函数 g 使得 f+g=0f + g = 0。这就是等价类 f~\tilde{f} 引入的动机，形式向量空间的作用。

让(fn)(f_n)是映射的序列变成*拓扑空间*F，其中每个在X中几乎到处都有定义。我们说序列 (fn)(f_n) 几乎处处收敛于 f in X，如果点 x∈Xx \in X 的集合其中定义了所有 fn(x)f_n(x) 并且序列 (fn(x))(f_n(x)) 的极限等于f(x)f(x)，补数可以忽略不计。很明显，如果对于每个 n，函数 gng_n（几乎处处定义）等价于 fnf_n，则序列 (gn)(g_n) 几乎处处收敛于 ff。

如果F是*拓扑向量空间*，一个定义类似地是一个*几乎处处收敛的级数*，其一般项是函数fnf_n几乎处处定义在X中，值在F中；这个级数的和是在点定义的函数，其中定义了部分和∑k=1nfk(x)\sum_{k=1}^n f_k(x)并具有极限，并且其类仅依赖于类f~n\tilde{f}_n。

6. 函数中的等价类，其中值在 R‾\overline{\mathbf{R}} 中

与 No. 3 中的定义一致，我们说 X 中几乎所有地方都定义的函数 ff 以及 R‾\overline{\mathbf{R}} 中的值，如果定义了 f(x)f(x) 的 x∈Xx \in X 的集合则“几乎处处有限”并且有限的补数可以忽略不计。几乎处处有限的函数等价于*处处有限*的函数；因此，我们可以将认同其类f~\tilde{f}与类的*有限*数值函数定义在X（或X中的几乎所有地方）。特别地，几乎处处定义了有限的函数的两个类的和和乘积，并且这些类的集合是R\mathbf{R}上的*代数*。如果 (fn)(f_n) 是函数的序列，值在 R‾\overline{\mathbf{R}} 中，几乎处处定义且有限，则部分和 ∑k=1nfk(x)\sum_{k=1}^n f_k(x) 几乎处处定义；如果，对于几乎每个x∈Xx \in X，它们在R‾\overline{\mathbf{R}}中有极限f(x)f(x)，我们再次说级数与一般项fnf_n几乎处处收敛，并且ff是级数的和 （注 ff 几乎在任何地方都不一定是有限的）。

如果ff和gg是两个数值函数，在XX中几乎处处定义且有限，则f~+g~\tilde{f} + \tilde{g}（分别f~g~\tilde{f} \tilde{g}）是每个函数的类等于f(x)+g(x)f(x) + g(x)（分别f(x)g(x)f(x)g(x)） 点 x∈Xx \in X 这个表达式有意义。 注ff和gg都可以“随处定义”，而无需为所有xx（GT，IV, §4, No. 3）定义f(x)+g(x)f(x) + g(x)（分别为f(x)g(x)f(x)g(x)）；通过定义 f+gf + g（分别为 fgfg），函数等于 f(x)+g(x)f(x) + g(x)（分别为 f(x)g(x)f(x)g(x)），在定义此表达式的位置为点；因此，它几乎在所有地方都被定义。

令 ff 和 gg 为两个数值函数（有限或非有限），在 XX 中几乎处处定义，使得 f(x)≤g(x)f(x) \leq g(x) 几乎处处；如果f1f_1等价于ff，并且g1g_1等价于gg，那么显然f1(x)≤g1(x)f_1(x) \leq g_1(x)几乎无处不在。因此，所讨论的关系仅取决于ff和gg中的类；一写f~≤g~\tilde{f} \leq \tilde{g}，立刻验证这个关系是函数的等价类的集合中的*序关系*和R‾\overline{\mathbf{R}}中的值。如果(f~n)(\tilde{f}_n)是此类类的可数族（有限或无限），并且如果对于每个nn，fnf_n和gng_n是几乎处处定义的两个函数，并且属于到类f~n\tilde{f}_n，则可以从命题1得出。 No. 4中的8个函数、sup⁡nfn\sup_n f_n和sup⁡ngn\sup_n g_n几乎在任何地方都有定义，是等价的；因此，它们的类仅取决于类f~n\tilde{f}_n，并且立即验证它是函数的类的集合中的这些类的*最高值*sup⁡nf~n\sup_n \tilde{f}_n和值 R‾\overline{\mathbf{R}}，以刚刚描述的方式排序（集合，因此，特别是*网格排序*）。一种类似地表明了下确界 inf⁡nf~n\inf_n \tilde{f}_n 的存在，另一种则具有 inf⁡nf~n=−sup⁡n(−f~n)\inf_n \tilde{f}_n = -\sup_n (-\tilde{f}_n)。由此可见，lim sup⁡n→∞fn\limsup_{n \to \infty} f_n和lim sup⁡n→∞gn\limsup_{n \to \infty} g_n也是等价的，它们的类记为lim sup⁡n→∞f~n\limsup_{n \to \infty} \tilde{f}_n，等于inf⁡n(sup⁡p≥0f~n+p)\inf_n (\sup_{p \geq 0} \tilde{f}_{n+p})； lim inf⁡n→∞f~n\liminf_{n \to \infty} \tilde{f}_n 的定义类似。

如果数值函数 ff（无论是否有限）等于 0，则称其为“可忽略”；这个定义相当于Def。 1 对于函数是正的并且到处都有定义，凭借 Th. 1. 要使ff可以忽略不计，∣f∣|f|可以忽略不计（或者f+f^+和f−f^-都可以忽略）是充分必要的。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。