（闵可夫斯基的不等式）。

当第二个成员的项之一等于$+\infty$时，不等式(1)是明显的。相反的情况下，$f$和$g$几乎在任何地方都是有限的（$§ 2$，No. 3，命题7）。如果$f_1$和$g_1$是有限正数函数分别等价于$f$和$g$，则$f_1^p, g_1^p$和$(f_1 + g_1)^p$分别等价于$f^p, g^p$和$(f + g)^p$，并且因为等价正数函数具有相同的上积分（$§ 2$，No. 3，命题 6），在 $f$ 和 $g$ 处处有限的情况下，我们被简化为证明不等式 (1)；但在这种情况下不等式是第1章中证明的一般明可夫斯基不等式的特例。 I，No. 2，提案 3。

我们还将有机会利用以下初等不等式：如果$p \geqslant 1$那么，对于任何数$a \geqslant 0,\ b \geqslant 0$，

如果$a = b = 0$或者数$a, b$之一是$+\infty$，则不等式是明显的；如果$a, b$是有限的且$a + b > 0$，则可以写成

由此可见

(3)

(4)

因为，关系 (3) 立即从 Def 得出。 1 并且 $|\mu|^*$ 是正齐次的；另一方面，由于 $|f + g| \leq |f| + |g|$，不等式 (4) 由 Minkowski 的不等式 (1) 和 $|\mu|^*$ 是递增的事实得出。

我们扩展 Def。 1 到数值函数的情况，*有限与否*，在 $X$ 上定义，再次由设定定义

对于这样的函数$f$。人们立即看出，当在 $X$ 和 $\alpha \neq 0$ 上定义 $f + g$ 时，关系 (3) 和 (4) 也适用于这些函数。而且：

(5)

集合$f = \sum_{n=1}^\infty f_n$； $f$是函数$g_n = \sum_{k=1}^n f_k$的递增序列的上包络线； $N_p(f)$ 中的定义，以及 Th。 §1, No. 3中的3个，表明$N_p(f) = \sup_n N_p(g_n)$。 但是根据命题 1 $N_p(g_n) \leq \sum_{k=1}^n N_p(f_k)$，从而不等式 (5)。

命题立即从 Th 开始。 1 个§2, No. 3。

如果 f 和 g 是 X 到 F 中的两个等价映射，则$N_p(f) = N_p(g)$ 对于所有 $p \geq 1$（§ 2, No. 3，命题 6）；因此，$N_p(f)$仅取决于f的类$\tilde{f}$，以及一个集合，由定义、$N_p(\tilde{f}) = N_p(f)$决定。由于X的映射的类代入F形式向量空间(§ 2, No. 4)，关系(3)和(4)也可写成

类似地，对于等效数值函数（有限或非有限）的每一个类，都有一个定义 $N_p(\tilde{f})$。

然后，我们可以将定义$N_p(f)$用于函数，而F中的值（分别在$\overline{\mathbf{R}}$中）几乎在X中的任何地方都定义为设定$N_p(f) = N_p(\tilde{f})$；那么很明显，关系（3）和（4）再次成立（假设$\alpha \neq 0$和$f + g$几乎到处定义，在数值函数的情况下，无论是否有限）。

如果 $0 < p < 1$，则再次集合 $N_p(f) = (\int^* |f|^p d|\mu|)^{1/p}$，但不等式 (4) 和 (5) 不再有效（cf. Ch. I，Exer. 6 和 Ch. IV, §6，Exer. 13）。

同样的道理，在映射$f \in \mathscr{F}_\mathbf{F}^p$的集合上，其支撑包含在固定的紧集中，拓扑的一致收敛性比阶的均值收敛性拓扑*更细**更细* $p$。

例如，令$h$是X到$[0,1]$的连续映射，有紧支撑，等于K上的1（第III, §1, No. 2，引理1）。对于每个$\varepsilon > 0$，都存在一个$M \in \mathscr{B}$，这样，对于每个映射$f \in M$，对于所有$x \in X$，都存在$|f(x) - f_0(x)| \leq \varepsilon h(x)$。由此可知$N_p(f - f_0) \leq \varepsilon N_p(h)$，从而命题。

由于与 $\mathscr{F}_\mathbf{F}^p$ 伴随的 Hausdorff 空间是一个规范的空间，因此足以证明 $\mathscr{F}_\mathbf{F}^p$ 中的每个 Cauchy 序列 $(f_n)$ 对于拓扑的收敛均值阶具有极限 $p$（GT，IX, §2, No. 6，提案 9）。到假设，对于每个$\varepsilon > 0$，都存在整数$m_0$，使得关系$m \geq m_0,\ n \geq m_0$暗示$N_p(f_n - f_m) \leq \varepsilon$。因此，可以在$k$、严格递增的序列$(n_k)$定义、归纳、整数$\geq 0$这样$N_p(f_{n_{k+1}} - f_{n_k}) \leq 2^{-k}$。如果我们证明级数与一般项 $g_k = f_{n_{k+1}} - f_{n_k}$ ($k \geq 1$) 收敛于阶 $p$，那么它将有和 $g \in \mathscr{F}_\mathbf{F}^p$，并且 $f = g + f_{n_1}$ 将是极限序列$(f_{n_k})$在$\mathscr{F}_\mathbf{F}^p$；那么$f$将是序列$(f_n)$的集群点；因为这个序列是柯西序列，所以它将有$f$作为极限，并且第5条命题将被证明（GT，II, §3, No. 2，第5条命题的Cor.2）。

因此，第 5 条命题是以下命题中的推论：

考虑正函数（有限或无限）$g(x) = \sum_{n=1}^\infty |f_n(x)|$。由可数凸性定理 (No. 2, Th. 1)，

因此$g$几乎处处是有限的（§ 2, No. 3，命题7），这意味着级数与一般的项$f_n(x)$几乎处处绝对收敛。由于$\mathbf{F}$是完备的，因此级数几乎处处收敛，并且对于每个$x \in X$、$|f(x)| \leqslant \sum_{n=1}^\infty |f_n(x)| = g(x)$、从而

这就证明了$f$属于到$\mathscr{F}_\mathbf{F}^p$。另一方面，对于每个整数 $n$，

几乎无处不在，从而$N_p \left( f - \sum_{k=1}^n f_k \right) \leqslant \sum_{k=n+1}^\infty N_p(f_k)$。由假设，级数与一般项$N_p(f_n)$收敛；因此，对于每个$\varepsilon > 0$，都存在整数$n$使得$\sum_{k=n+1}^{\infty} N_p(f_k) \leq \varepsilon$，并且不等式(8)证明$f$是级数的和，对于项$f_n$，对于拓扑收敛的平均值为阶 $p$。

命题5和6由此被完全证明。

在其他$\mathscr{L}_\mathbf{F}^p$中的字、函数是连续函数的序列的极限，具有紧支撑，对于阶$p$的均值收敛的拓扑。

因为，$f$几乎处处都是有限的，而$N_p(f - g) \leq N_p(h - g) \leq \varepsilon$；因此，命题 7 表明 $f$ 是$p$-第幂可积。

因为，到定义，$\mathscr{L}_\mathbf{F}^p$是$\mathscr{F}_\mathbf{F}^p$的闭子空间，并且由于后者空间是完整的（No. 3，命题5），我们有以下结果（GT，II, §3, No. 4，命题8）：

在空间$L_\mathbf{F}^p$中，类的范数$N_p(\tilde{\mathbf{f}})$再次表示为$\| \tilde{\mathbf{f}} \|_p$。

Th。 2 可以如下锐化：

正如No. 3第5条命题证明，定义序列$(n_k)$乘以归纳就足够了，这样$N_p(\mathbf{f}_{n_{k+1}} - \mathbf{f}_{n_k}) \leq 2^{-k}$； 部分 2° 和 3° 然后根据No. 3 的第 6 条命题以及$\mathscr{L}_\mathbf{F}^p$ 在$\mathscr{F}_\mathbf{F}^p$ 中闭合的事实得出。另一方面，如果$h(x)$是级数的和和一般的项$|\mathbf{f}_{n_{k+1}}(x) - \mathbf{f}_{n_k}(x)|$，则Th。 No. 2中的1表示$N_p(h) < +\infty$；因此，通过$|\mu|^*$的定义，存在下半连续函数$g \geq h + |\mathbf{f}_{n_1}|$，使得$N_p(g) < +\infty$完整，从而完成证明。

因为，存在$(f_n)$的子序列$(f_{n_k})$，使得$(f_{n_k}(x))$几乎处处收敛到$g(x)$，其中$g$是$\mathscr{L}_F^p$中的函数，使得$(f_n)$收敛于阶的均值$p$ 至 $g$。因此，这些假设意味着 $f(x) = g(x)$ 几乎无处不在，从而是推论。

1° 序列 $(g_n)$ 收敛于阶 $p$ 到 $f$； 2° 几乎每个 $x \in X$，*序列* $(g_n(x))$ 收敛到 $f(x)$。

因为，由于空间$\mathscr{L}_F^p$是可度量的，$\mathscr{L}_F^p$由……组成中存在$\mathscr{E}$中函数的柯西序列$(f_n)$，并且收敛于阶$p$的平均值$f$（GT、IX, §2, No. 6、提案 8）；应用Th就足够了。 3 到此序列。

科。 2特别适用于将$\mathscr{E}$视为*具有紧凑支撑的连续函数*的空间$\mathscr{K}_F$的情况。

令 $f \in \mathscr{L}_F^p$；对于每个$\varepsilon > 0$，都存在函数$g \in \mathscr{K}_F$使得$N_p(f - g) \leq \varepsilon$；从$|u \circ f - u \circ g| \leq \|u\| \cdot |f - g|$开始，我们

由于$u \circ g$是连续的且有紧支撑，因此定理得证。

这是因为 $\mathbf{R}$ 到 F 中的映射 $t \mapsto a t$ 是连续的。

这是 Cors 的结论。 Th的1和2。 4.

X连续映射入F以紧支撑的集合$\mathscr{K}_F$由定义密集于$\mathscr{L}_F^p$。另一方面，每个函数$g \in \mathscr{K}_F$都可以用形式$\sum_k a_k f_k$的函数统一近似，其中$f_k$是连续的函数，并且支持包含在$g$支持的固定紧邻域中（第1章）。 III, §1, No. 2、引理2)；由此可见（No. 3，命题4）$g$位于$\sum_k a_k f_k$、从而命题的集合的$\mathscr{L}_F^p$的闭包中。

对于每个$\varepsilon > 0$，都存在一个连续的函数$g$，具有紧支撑，使得$N_p(f - g) \leq \varepsilon$；从$||f| - |g|| \leq |f - g|$开始，我们有$N_p(|f| - |g|) \leq \varepsilon$，这证明了$|f| \in \mathscr{L}^p$。另一方面，如果$f_1, f_2$是$\mathscr{L}_F^p$中的两个函数，则$N_p(|f_1| - |f_2|) \leq N_p(f_1 - f_2)$，这表明$f \mapsto |f|$是均匀连续的映射。

从 $f = f^+ - f^-$ 开始，条件就足够了；这是必要的，因为如果$f \in \mathscr{L}^p$则$|f| \in \mathscr{L}^p$（命题11）。

命题的第一个部分立即来自No. 5的第11条提案；由于$\tilde{f} \geq 0$的集合也是$\tilde{f}$的集合，使得$| \tilde{f} | = f$，它是闭集，因为$\tilde{f} \mapsto | \tilde{f} |$是连续的映射，$L^p$是Hausdorff。

因此，我们看到范数$\| \tilde{f} \|_p$定义的$L^p$上的拓扑与$L^p$（TVS，II, § 2, No. 7）的有序向量空间结构“相容的”。

$L^p$中$H$的上界则为$H$的截面滤波器的极限*（在Banach空间$L^p$中）*。

条件显然是必要的，因为$\tilde{f} \mapsto \| \tilde{f} \|_p$是递增函数在元素$\geq 0$的集合上，$L^p$。为了证明它是充分的，我们首先观察到它意味着映射$\tilde{f} \mapsto \| \tilde{f} \|_p$下的$H$的像在$\mathbf{R}$中有极限，通过单调极限定理；因此，在此映射下的截面滤波器的$\mathfrak{F}$，$H$的像因此是$\mathbf{R}$上的柯西滤波器的基。如果我们证明$\mathfrak{F}$本身是$L^p$上的柯西滤波器*基，证明将是完整的；因为，$\mathfrak{F}$ 将在 $L^p$ 收敛，因为 $L^p$ 已完成（No. 4，Th.2），命题将从 TVS，II, § 2, No. 7，第 18 条命题而来。

要查看柯西滤波器的$\mathfrak{F}$是基，我们将使用以下引理：

当$f$和$g$在紧支撑下连续时，关系(9)可以写成

则 是初等不等式 $(g - f)^p \leq g^p - f^p$ (No. 1, 公式 (2)) 的推论。为了从这种情况过渡到一般情况，只需观察（9）的两个成员在$\mathscr{L}^p \times \mathscr{L}^p$上连续函数，并且$\mathscr{L}^p$中的每个函数$f \geq 0$都是极限（对于阶$p$的平均值收敛）连续函数 $\geq 0$ 的序列具有紧支撑，通过$\mathscr{L}^p$ 上映射 $g \mapsto |g|$ 的连续性（命题 11）。

引理成立后，对于每一个$\varepsilon > 0$，都存在假设一个$\tilde{f} \in \mathrm{H}$，这样，对于每一个$\tilde{g} \geq \tilde{f}$属于到$\mathrm{H}$，我们有$(\|\tilde{g}\|_p)^p - (\|\tilde{f}\|_p)^p \leq \varepsilon$；由此可知 $(\|\tilde{g} - \tilde{f}\|_p)^p \leq \varepsilon$；因此，如果$\tilde{g}_1$和$\tilde{g}_2$是$\mathrm{H}$中的两个元素，即$\geq \tilde{f}$，则$\|\tilde{g}_1 - \tilde{g}_2\|_p \leq 2\varepsilon^{1/p}$，这证明$\mathfrak{F}$是$L^p$上的柯西滤波器基并完成提案 14 的证明。

这是由$L^p$中范数$\|\tilde{f}\|_p$的连续性以及极限定理的单调性得出的。

$L^p$中的每个有向集合$\mathrm{H}$（对于关系$\leq$）、类$\geq 0$的由……组成以及在$L^p$中的上界，都有一个上界：对于，如果$\tilde{h}$是上界对于$L^p$中的$\mathrm{H}$，则$\|\tilde{f}\|_p \leq \|\tilde{h}\|_p$对于所有$\tilde{f} \in \mathrm{H}$，并且第14条命题适用。这证明了推论（第 II, §1, No. 3 章，命题 1）。

当第 14 条命题的结论在$\mathscr{L}^p$ 中针对函数而不是类时，它们就不再成立。准确地说，如果$M$是$\mathscr{L}^p$中的子集，函数$\geq 0$中的由……组成，指向关系$\leq$，并且使得上封套的$\sup_{f \in M} N_p(f) < +\infty$，*类* $M$ 的$g$ 不一定与函数 的类* $L^p$ *中的上界相同 f \in M ；特别是，g 不一定是第 p 个幂可积，即使$g \in \mathscr{L}^p$、$N_p(g)$ 也可以与 $\sup_{f \in M} N_p(f)$ 不同（Th.3 之后的cf. §1, No. 3、注 1）。

尽管如此，我们还是有以下定理：