习题 9, § 4

a) 令 $\mu$ 为局部紧凑空间 $X$ 的正测度。在$\mathscr{F}^1$中函数等价类的Banach空间$\widetilde{\mathscr{F}}^1$中，令$G$为闭线性子空间包含子空间$L^1$；令$\mathscr{G}$为$\mathscr{F}^1$由函数形成的闭线性子空间，其类属于到$G$。证明可以通过扩展到 $\mathscr{G}$ 线性形式 $\mu(f)$ 的方式再次验证不等式 $|\mu(f)| \leq N_1(f)$（利用 Hahn–Banach 定理）。证明对于如此扩展的积分，Th。 §3 中的 3 个再次有效。

b) 假设$G$是$L^1$的直和和*有限*维数的子空间$H$。证明，在$\mathscr{G}$，勒贝格的定理（Th.2）再次有效。 （令$(f_n)$为$\mathscr{G}$中函数的序列，几乎处处趋向于$f$，使得$|f_n| \leq g$，其中$g \geq 0$和$N_1(g) < +\infty$。令$(\tilde{u}_k)_{1 \leq k \leq m}$为基 $H$，并令$f_n = \sum_{k=1}^m \alpha_{nk} u_k + h_n$，其中$h_n \in \mathscr{L}^1$。利用$G$是$L^1$和$H$的拓扑直和这一事实，表明$\alpha_{nk}$在经过上一致有界；如有必要，可以到子序列。 $(f_n)$，约化到序列$(\alpha_{nk})_{n \geq 1}$都有极限；由此推论$h_n(x)$则几乎处处趋于极限，并应用勒贝格的定理到序列 $(h_n)$；注最后，$(\tilde{f}_n)$不能的两个子序列在$G$中倾向于不同的极限。）