习题 23, § 1

令 $\mu$ 为 $T$ 的正测度，由紧集的可数并承载。 a) 令$H$为$\mu$可测量数值函数的集合，这样对于每个$t \in T$，$\sup_{f \in H} f(t) < +\infty$。 证明存在有限的 $\mu$ 可测函数 $g$，使得对于每个函数 $f \in H$ 几乎处处都有 $f(t) \leq g(t)$。 （约化对于$\mu$有界且$H$中的函数在$[-1, +1]$中取其值，通过$\overline{\mathbf{R}}$的递增同胚到该区间上。 然后考虑$H$中函数的类、集合的$L^1(\mu)$中的上上界$\widetilde{g}$（第1章） IV, §3, No. 6，命题 14）并观察$H$中存在函数的序列几乎处处收敛于$g$。） b) 令 $f$ 为 $T$ 的可标量 $\mu$ 可测量映射到 Hausdorff 局部凸空间 $F$。 对于$F'$的每个子集$B'$，以$\sigma(F', F)$为界，证明存在一个可测量且有限的数值函数$g_{B'}$，这样，对于每个$z' \in B'$，$|\langle f(t), z' \rangle| \leq g_{B'}(t)$几乎无处不在。 c) 令$F$为Fréchet 空间，$f$为$T$到$F$的可标量$\mu$可测量映射。 证明对于$T$和每个$\varepsilon > 0$的每个紧致子集$K$，都存在紧集$K' \subset K$，使得$f$到$K'$的$\mu(K - K') \leq \varepsilon$和限制有界（利用b））。