特别是，如果 f 本质上是 $\mu$ 标量可积，那么当 F 的拓扑被更粗糙的拓扑替换时，它本质上仍然是 $\mu$ 标量可积。

对于所有 $\mathbf{z}' \in F'$，这是公式 $\langle \mathbf{z}', gf \rangle = g \langle \mathbf{z}', f \rangle$ 的直接的推论，对于每个基本 $\mu$ 可积标量函数 $h$（第 V, §5, No. 3，第 1 章），这是公式 $\int h d(g \cdot \mu) = \int hg d\mu$。

A great many propositions about essentially integrable numerical functions may be transposed word for word into propositions about scalarly essentially integrable vector-valued functions. 其中更重要的是，我们提请注意条件，因为函数对于密度定义的度量本质上是可积的（第1章）。 V, §5, No. 3，Th。 1)，或关于某项措施的像（第 1 章） V, §6, No. 2，Th。 1），或关于诱导措施（第 1 章） V, §7, No. 1，Th。 1)，或者关于正测度的可求和族的和（第 1 章） V, §2, No. 2，道具。 1和3以及Cor。提案 1 中的 3）。 这些转换留给读者。

然而，为了在“双积分”上获得叙述相应的到定理（第V, §3, No. 3，Th.1和§8, No. 4，Th.1（Lebesgue–Fubini定理）），有必要加强假设(cf.锻炼。1);在应用上，将先前引用的定理到函数$\langle \mathbf{z}', f \rangle$中的每一个，其中$\mathbf{z}' \in F'$，因此获得以下命题：

$^3$假设族本质上是$\mu$可积就足够了，因此命题适用于“$\mu$-充分”的两种解释中的任何一种。 $^4$等式为 ${F'}^*$ 的元素。

由于$D$是闭半空间包含$f(S)$的交（TVS，II, §5, No. 3，第4条命题的Cor.1），因此足以证明关系$\langle f(t), z' \rangle \leq a$对于所有$t \in S$（其中$z' \in F', a \in \mathbf{R}$) 意味着$\langle z', \int f\, d\mu \rangle \leq a \cdot \mu(T)$；但从 $\int f\, d\mu = \int_S f\, d\mu$ 开始，这是从第 1 章开始的。 IV, §4, No. 2，科。 1 Th。 1.

对于每个 $z' \in F'$，$\langle z', f \rangle$ 是 $\mu$ 可测的，并且有界于 $S$，因此可积，这证明了 $f$ 是标量可积的。此外，由于$A$在$F_\sigma$中是紧的，因此它在$F'$*中是闭的，并且$f(S)$在$F'$*中的闭凸包络包含在$A$、从而的推论中。

令$D$为$z \in F$的集合，使得$q(z) \leq 1$； $D$ 是闭凸的，并且包含 $0$，因而 $D = D^{oo}$（TVS、II, §6, No. 3、Th.1 的 Cor. 3）。因而，只要证明每有一个$z' \in D^\circ$，就有$|\langle z', \int f\, d\mu \rangle| \leq \int^\bullet (q \circ f)\, d\mu$；但这是从以下事实立即得出的：每个$t \in T$都有$|\langle z', f(t) \rangle| \leq q(f(t))$。

注数值函数 $q \circ f$ 不必是$\mu$ 可测量的（例12）。

() 回想一下，对于有界*正测度 $\mu$，$\mu$-可积函数和本质上 $\mu$-可积函数的概念是相同的（第 9 章，第 V, §1, No. 3 章，Cor.）。

5 原上位积分记号为$\overline{\int^*}$，第二版改为$\int^\bullet$。 V。

在 F 的弱紧致、平衡、凸子集中。然后 $\int f d\mu$ 属于到 F 的双$F''$。

对于 T 的每个紧凑子集 K，

科。第 5 条命题可以应用于有界测度 $\varphi_K \cdot \mu$ 和函数 $f \varphi_K$，因而$\int f \varphi_K d\mu \in F$。对于每个 $z' \in F'$，$\langle z', f \rangle$ 本质上是 $\mu$ 可积的，因而（第 V, §1, No. 3 章，命题 10）

极限是相对于T的紧凑子集的递增有向集合而取的。 一个结论，相对于这个集合，对于拓扑$\sigma({F'}^*, F')$，$\int f \varphi_K d\mu$收敛到$\int f d\mu$。 现在，

这证明了元素$\int f \varphi_K d\mu$的集合是$F_\sigma$的*有界*子集，因此也是F的（TVS，IV, §1, No. 1，命题1）。因而，命题 7 是以下引理中的推论：

因为，F 的有界子集包含在 F 的强对偶 $F'$ 中 0 邻域的极坐标（在 $F''$ 中），因此对于 $\sigma(F'', F')$，在 $F''$ 中相对紧（TVS，III, §3, No. 5，第 7 条命题和 No. 4，第 4 条命题的 Cor.2）；由于$\sigma(F'', F')$是由$\sigma({F'}^*, F')$诱发的，所以引理得证。

因为，F 的每个有界子集都是相对弱紧的（TVS、IV, §2, No. 2、Th.1）和 $F = F''$。

由于 S 是 $\mu$ 可积的，因此存在由 $\mu$ 可忽略的集合 N 和紧凑子集的序列 $(K_n)$ 形成的 S 的划分，使得 f 的限制对于每个 $K_n$ 都是连续的（第 1 章） IV, §4, No. 6，第 4 条第 3 条和§5, No. 1，定义 1)；因而，$f(K_n)$ 是 $F$ 的紧致子集。然后，$f(K_n)$ 的闭合平衡凸包络$B_n$ 是预紧的（TVS，II, §4, No. 1，命题 3），并且包含在 $F$ 的完整子集 $B$ 中，因此它是紧的，并且 更不必说 是弱紧的。因而（Prop. 5 的 Cor.） $f \varphi_{K_n}$ 是 $\mu$ 标量可积的，并且

对于$F$上的每个连续半范数$p$，有以下结论

由于$B$是有界的，并且由于级数与广义项$\mu(K_n)$收敛并且具有和$\mu(T)$，因此可以看出序列与广义项$s_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n$是完整的柯西序列子集$\mu(T)B$共$F$。因而，这个序列收敛到$\mu(T)B$的元素$s$；因为可以假设$f(t) = 0$在$T - S$上，勒贝格的定理应用于函数$\langle z', f \rangle$（$z' \in F'$）中的每一个都证明了$s = \int f d\mu$。

a) 对于每个$x \in G$，$\int (U(t) \cdot x) d\mu(t) \in H$。

b) 对于$H'$的每个等连续子集$B'$，线性形式$u_{y'} : x \mapsto \int \langle U(t) \cdot x, y' \rangle d\mu(t)$的集合，其中$y'$超过$B'$，是等连续的。

条件 a) 和 b) 是必要的。因为，由于对于每个$x \in G$，$\mathscr{L}_s(G; H)$到$H$的映射$\tilde{x} : V \mapsto V \cdot x$是线性的，所以可以看到（No. 1，

命题 1) $\widetilde{\mathbf{x}} \circ U : t \mapsto U(t) \cdot \mathbf{x}$ 基本上是 $\mu$ 标量可积的，并且

其中$S = \int U\, d\mu \in \mathscr{L}_s(G; H)$。这就证明了a）。此外，(1)也可以写成

其他字${}^t S \cdot \mathbf{y}' = u_{\mathbf{y}'}$。由于$S$是连续的，${}^t S$变换将$H'$的每个等连续子集转换为$G'$、从而的等连续子集b)。

相反，假设 a) 和 b) 已得到验证。凭借a)，将$G$的公式(1)定义线性映射$S$转化为$H$，并且对于每个$\mathbf{y}' \in H'$，这个映射满足(2)（No. 1，命题1）；但是，条件 (b) 表示 $S$ 是连续的（TVS，II, §6, No. 4，命题 5 和 6，以及 III, §3, No. 5，命题 7），因此 $S \in \mathscr{L}_s(G; H)$。最后，公式(2)证明了$S = \int U\, d\mu$。

$1^\circ$ 测度 $\mu$ 是有界的，如果 $S$ 是其支撑，则 $U(S)$ 是 $\mathscr{L}(G; H)$ 的等连续子集。

满足第 9 条的 $2^\circ$ 条件 a)，空间 $G$ 是桶状的，并且，对于 $T$ 的每个紧致子集 $K$，$U(K)$ 是有界的子集 $\mathscr{L}_s(G; H)$。

让我们首先将自己置于情况$1^\circ$。我们可以将自己限制在$S = T$（第V, §7, No. 1，Th.1）的情况。那么，对于$H'$的每个等连续子集$B'$，存在一个等连续、凸、平衡且弱闭的子集$A' \subset G'$，使得${}^t U(t) \cdot \mathbf{y}' \in A'$对于所有$\mathbf{y}' \in B'$和所有$t \in T$（TVS，II, §6, No. 4，提案 6）。由于$U$是$\mu$可标量可积，$T$的映射$t \mapsto {}^t U(t) \cdot \mathbf{y}'$进入$G$的对偶$G'$配备$\sigma(G', G)$，是$\mu$可标量可积，并且可以写成

由于 $A'$ 对于 $\sigma(G', G)$ 是凸且紧的，因此 Cor. No. 2的第5条命题表明，对于每个$\mathbf{y}' \in B'$，都有$u_{\mathbf{y}'} \in \mu(T)A'$，这就证明了我们的断言。

现在让我们假设情况$2^\circ$。对于每个 $\mathbf{y}' \in H'$ 和$T$、集合的每个紧凑型子集 $K$

元素的代数对偶$G^*$ $G$。由于$G$是桶状的，$\mathscr{L}_s(G; H)$的每个有界子集都是等连续的（TVS，III, §4, No. 2，Th.1）；参数的第一个部分应用于函数 $\varphi_K U$ 和有界测度 $\varphi_K \cdot \mu$，显示 $u_{K, y'} \in G'$。此外，对于拓扑$\sigma(G^*, G)$，$u_{y'} = \lim_{K} = u_{K, y'}$、极限是相对于$T$的紧凑子集的递增有向集合而取的（第V, §1, No. 3章，第10条）。为了验证命题9的条件b)，根据命题9，证明(1)定义的$G$到$H$的线性映射$S$是连续的即可；此外，$G$是桶形的，因此当$G$和$H$配备其弱化拓扑时，足以证明$S$是连续的（TVS，IV, §1, No. 3，第7条）；最后，根据（2），可以简化为对于每个 $y' \in H'$ 都有 $u_{y'} \in G'$。由于$u_{y'}$处于闭包中，对于$u_{K, y'}$的集合$M'$的$\sigma(G^*, G)$，其中$K$运行于$T$的紧致子集的集合，因此足以证明$M'$ 等连续（TVS，III, §3, No. 4，命题 4）；由于$G$是桶装的，因此对于每个$x \in G$，$\langle x, u_{K, y'} \rangle$的集合都是有界的（TVS，III, §4, No. 2，Th.1）。但这是从关系立即得出的

a) $H$ 是准完备的，$\mu$ 是有界的，如果 $S$ 是它的支持，$U$ 是 $\mu$ 可测的，$U(S)$ 是等连续的。

b) $H$ 是半自反的，$\mu$ 是有界的，如果 $S$ 是其支持，$U$ 是标量 $\mu$ 可测的，$U(S)$ 是等连续的。

c) $H$ 是半自反的，$G$ 是桶状的，$U$ 本质上是 $\mu$ 可标量可积的，并且，对于 $T$ 的每个紧致子集 $K$，$U(K)$ 是有界的。

在所有三种情况下，$U$ 本质上是可积的这一事实是显而易见的；凭借第 9 号提案及其推论，在每种情况下都足以验证第 9 号提案的条件 a)。现在，这个条件是从第一种情况下No. 2的第 8 条提案以及 Cor.9 中得出的。 No. 2 的第 7 号提案在其他两种情况下。

令V为F中的桶，q为规范，它是F上的半范数；令 H 为与空间 F 相关联的 Hausdorff 空间，并配备由该单一半范数定义的拓扑。 H 的补全 $\widehat{H}$ 是 Banach 空间；令$\pi$为F的典范映射进入$\widehat{H}$；我们将证明$\pi$是*连续的*（对于F上的原始拓扑）；这将建立命题，因为$\widehat{H}$的单位球的$\pi$下的V、逆像将是F中0的邻域。为了建立$\pi$的连续性，凭借（GDF），只需证明$\pi$的图为*于 $F \times \widehat{H}$ 关闭*；在其他字中，我们必须看到，如果$\mathscr{F}$是F上的一个滤波器，收敛到$x \in F$，并且它的像$\pi(\mathscr{F})$收敛到$y \in \widehat{H}$，那么$y = \pi(x)$。现在，$F'$中V的极$V^\circ$的每个元素$x'$只能以一种方式延伸到$\widehat{H}$上的连续线性形式（再次表示为$x'$），以及其中的集合形式是$\widehat{H}$对偶的单位球；因此，只要证明对于每个 $x' \in V^\circ$ 就有$\langle y, x' \rangle = \langle \pi(x), x' \rangle$。但这是从关系得出的

回想一下，$F'_s$ 的对偶是 F（TVS，II, §6, No. 2，命题 3）。因此，对于每个 $z \in F$，数值函数 $\langle z, f \rangle$ 本质上是 $\mu$ 可积的；设$\theta(z)$为$L^1(\mu)$中的类。为了证明 $\int f d\mu \in F'$，必须证明线性形式 $z \mapsto \langle z, \int f d\mu \rangle$ 在 F 上连续；事实上，我们将证明以下更强的结果：

凭借（GDF）性质，足以证明对于F的元素的每一个序列$(z_n)$收敛到$z$，使得$(\theta(z_n))$收敛到$u \in L^p(\mu)$，就有$u = \theta(z)$。现在，替换，如果需要序列$(z_n)$通过一个子序列，我们可以假设函数$\langle z_n, f \rangle$的序列几乎处处局部收敛到函数$h \in \overline{\mathscr{L}}^p(\mu)$，其中类$u$在$L^p(\mu)$（第 IV, §3, No. 4、第 3 章和第 V, §1, No. 3）。因为到假设，对于每个$t \in T$序列$(\langle z_n, f(t) \rangle)$收敛到$\langle z, f(t) \rangle$，我们几乎在所有地方都有$h(t) = \langle z, f(t) \rangle$，因而$u = \theta(z)$。

空间$F$与张量积$\bigotimes_{i=1}^n G_i$对偶，$F$上逐点收敛的拓扑不是别人，正是拓扑$\sigma(F, \bigotimes_{i=1}^n G_i)$。 因而，代数对偶 ${F'}^*$ 是 $\prod_{i=1}^n G_i$ 上所有多重线性形式的空间。 设$z = (z_1, \ldots, z_n)$为$\prod_{i=1}^n G_i$的元素；对于每个多重线性形式$u \in {F'}^*$，映射$x \mapsto u(z_1, \ldots, z_{i-1}, x, z_{i+1}, \ldots, z_n)$在$G_i$上是线性形式，我们用$\lambda_i(z)(u)$表示；因而，我们将${F'}^*$的线性映射$\lambda_i(z)$转化为$G_i$的代数对偶$G_i^*$，对于拓扑$\sigma({F'}^*, \bigotimes_{i=1}^n G_i)$和$\sigma(G_i^*, G_i)$是连续的。 说$u \in F$意味着对于每一个指标$i$和每一个$z \in \prod_{i=1}^n G_i$，都有一个$\lambda_i(z)(u) \in G_i'$。 Now, by Prop. 1 of No. 1, the mapping $\lambda_i(z)$ of $F$ is a scalarly essentially $\mu$-integrable mapping of $T$ into $G_i'$ equipped with the topology $\sigma(G_i', G_i)$, and

By Th. 1, $\int (\lambda_i(z) \circ f) d\mu \in G_i'$ for $1 \leq i \leq n$, therefore $\int f d\mu \in F$.

由于$G$是桶装的（提案11），$\mathscr{L}(G; H) = \mathscr{L}(G_\sigma; H_\sigma)$（TVS，IV, §1, No. 3，提案7）；此外，可以通过空间$\mathscr{L}_s(G_\sigma; H_\sigma)$来替换$F = \mathscr{L}_s(G; H)$，因为两个空间具有相同的对偶$G \otimes H'$（TVS，II, §6, No. 2，第3条，以及上面No. 3的第一段）。如果，对于每个$u \in \mathscr{L}(G; H) = \mathscr{L}(G_\sigma; H_\sigma)$，一个集合$\tilde{u}(x, y') = \langle u(x, y') \rangle$（对于$x \in G$，y'\in H'），线性映射$u \mapsto \tilde{u}$是F的双射到单独连续的双线性形式上的空间$F_1$ $G_\sigma \times H'_s$，其中$H'_s$表示双$H'$配备弱拓扑$\sigma(H', H)$（App.，No. 1）；此外，这个映射是$\mathscr{L}_s(G_\sigma; H_\sigma)$到$F_1$的同构，配备了拓扑的逐点收敛（*loc.cit.*）。但由于假设 H 是$H'_b$ 的对偶，$F_1$ 也是$G \times H'_b$ 上单独连续的双线性形式的空间。科。因而，2 是从 Cor 得出的。 1.

注那个科。当 G 是 Banach 空间 并且 H 是 自反 Banach 空间 时，2 特别适用。

因为，F 可以被视为 Banach 空间的可数乘积 $\prod_n E_n$ 的子空间（TVS，II, §1, No. 3，命题 3），并且可以假设 $\mathrm{pr}_n(F)$ 在 $E_n$ 中是稠密的，因此是可分的。对于每个 n，映射 $\mathrm{pr}_n \circ f$ 是标量 $\mu$ 可测的，因而 $\mu$ 可测（第 10 章第 IV, §5, No. 5，Cor. 2），因而 f 是 $\mu$ 可测（第 IV, §5, No. 3，Th. 1）。

首先假设 F 是可度量且可分离的，并令 D 为 F 中的可数稠密集合。令 $(V_n)$ 为 F 中 0 的平衡、凸、开邻域的递减基本序列；极坐标集合 $V_n^\circ$ 是等连续的，并且它们的并是 $F'$ 的全部。设 $T_n = f(V_n^\circ)$； 序列$(T_n)$为递增和$T = \bigcup T_n$；让我们证明每个 $T_n$ 都是 $\mu$-*可测量*。事实上，$D \cap V_n^n$在$V_n$中是稠密的；对于每个$y \in D \cap V_n$，令$S_y$为$t \in T$的集合，使得$|\langle y, f(t) \rangle| \leq 1$； 假设意味着$S_y$ 中的每一个都是可测量的，$T_n$ 是$S_y$ ($y \in D \cap V_n$) 可数族的交。因而，对于 T 的每个紧致子集 K 和每个 $\varepsilon > 0$，存在整数 n 使得 $\mu(K - (K \cap T_n)) \leq \frac{\varepsilon}{4}$，然后存在 $K \cap T_n$ 的紧致子集 $K_1$ 使得 $\mu((K \cap T_n) - K_1) \leq \frac{\varepsilon}{4}$；最后，存在 $K_1$ 的紧凑子集 $K_2$，使得 $\mu(K_1 - K_2) \leq \frac{\varepsilon}{2}$ 并且所有函数 $\langle y, f \rangle$ 的限制到 $K_2$，其中 $y \in D$ 是连续的（Ch. IV, §5, No. 1，命题 2）。由于集合$f(K_2) \subset f(T_n) \subset V_n^\circ$是等连续的，$\sigma(F', F)$在$f(K_2)$上引起的拓扑与$D$中逐点收敛的拓扑相同（GT，X, §2, No. 4，Th.1）；因而，$f$到$K_2$的限制是连续的，从而我们在第一种情况下的断言。

让我们讨论一般情况。如果$z'$是$F$上的连续线性形式，则其限制$z'_n$到$F_n$是连续的；从$F = \bigcup_n F_n$开始，$F$的对偶$F'$可以用乘积$\prod_n F'_n$和$\operatorname{pr}_n z' = z'_n$的线性子空间（代数上）来识别。此外，由于$F$的每个有限子集都包含在$F_n$之一中，因此拓扑$\sigma(F', F)$正是由拓扑$\sigma(F'_n, F_n)$的乘积拓扑引起的拓扑。既然如此，如果$f$是$\mu$标量可测量的，那么$\operatorname{pr}_n \circ f$是$\mu$可标量测量的，因为对于每个$t \in T$，$\operatorname{pr}_n(f(t))$是$f(t)$到$F_n$的限制。 证明的第一个部分显示，对于每个 $n$，$\operatorname{pr}_n \circ f$ 是 $\mu$ 可测量的，因而 $f$ 也是如此（第 IV, §5, No. 3，第 1 章）。