例 08JP

在任意集合 $A$ 上定义的所有实值函数的空间 $\mathbf{R}^A$ 是 Riesz 空间（对于序关系 $\langle x(t) \leq y(t) \text{ for all } t \in A \rangle$）；例如，在 $A$ 上定义的任意两个实数值函数 $x, y$ 的上界（或下确界）等于映射 $t \mapsto \sup(x(t), y(t))$（或 $t \mapsto \inf(x(t), y(t))$）。

也可以说，Riesz 空间是向量空间 $E$ 配备阶结构，这样，一方面，$E$ 的结构和加法群结构定义 $E$ (A, VI, §1, No. 9) 上的*格序群* 结构，另一方面满足公理 (OVS$_{\mathrm{II}}$)。

因此，格序群的所有性质都适用于Riesz空间；我们将在这里回顾主要的（cf. A，VI, §1，第 9 到 12 个），并指出从公理（OVS$_{\mathrm{II}}$）流出的推论。

我们首先记得写$x^+ = \sup(x, 0)$（$x$的*正部分*）、$x^- = (-x)^+ = \sup(-x, 0)$（$x$的*负部分*）、$|x| = \sup(x, -x)$（$x$的*绝对值*）；然后$x = x^+ - x^-$和$|x| = x^+ + x^-$；这里，这两个关系相当于

关系 $x \leq y$ 相当于 $\langle x^+ \leq y^+ \text{ and } x^- \geq y^- \rangle$。对于任何 $x$ 和 $y$，*三角形不等式* 成立：

(1)

根据$> 0$的每位似下阶的不变性，

(2)

特别是，

(3)

另一方面，对于$\lambda < 0$，我们有$(\lambda x)^+ = (-\lambda x)^- = |\lambda| x^-$和$(\lambda x)^- = (-\lambda x)^+ = |\lambda| x^+$；由此可见，对于每个$\lambda \in \mathbf{R}$和每个$x \in E$，

(4)

阶在平移下的不变性表明，对于所有$z \in E$，

(5)

从而，特别是，

(6)

我们有关系

(7) $\inf(x, y) = -\sup(-x, -y) ,$

(8) $\sup(x, y) + \inf(x, y) = x + y .$

如果 $x, y, z$ 是 $\geq 0$ 则（A，VI, §1, No. 12，命题 11）

(9) $\inf(x + y, z) \leq \inf(x, z) + \inf(y, z) .$

如果 A 和 B 是 E 的两个子集，每个都有一个上界，那么 A + B 也有一个上界，并且

(10) $\sup(A + B) = \sup A + \sup B .$

如果 $\inf(|x|, |y|) = 0$，E 中的两个元素 $x, y$ 被认为是异类$^3$（彼此）；根据(8)，该关系等价于$\sup(|x|, |y|) = |x| + |y|$，并且根据(6)，等价于$||x| - |y|| = |x| + |y|$； 0 是唯一一个与自身无关的元素；对于每个$x \in E$、$x^+$和$x^-$都是外星人，并且可以被表征为唯一的外星人元素$y \geq 0, z \geq 0$使得$x = y - z$。如果$y$与$x$不相容，那么每个$z \in E$使得$|z| \leq |y|$也与$x$不相容。如果$y$和$z$与$x$不相容，那么$|y| + |z|$也不相容，不等式 (9)；特别是，对于每个整数 $n > 0$，$n|y|$ 与 $x$ 是陌生的，由此得出，对于每个标量 $\lambda$，$\lambda y$ 与 $x$ 是陌生的，因为存在整数 $n$ 使得$|\lambda| \leq n$、从而$|\lambda y| \leq n|y|$。如果 E 的子集 A 由与 $x$ 不同的元素组成，并且如果 A 有一个上界，那么该上界也与 $x$ 不同（A，VI, §1, No. 12，第 13 条命题的 Cor.）。

最后，我们有分解引理（A，VI, §1, No. 10，Th.1）：

如果* $(x_i)_{i \in I}, (y_j)_{j \in J}$ 是 E 的元素 $\geq 0$ 中的两个有限序列，使得 $\sum_{i \in I} x_i = \sum_{j \in J} y_j$，*则存在元素* $\geq 0$ 的有限序列 $(z_{ij})_{(i,j) \in I \times J}$ ，使得 $x_i = \sum_{j \in J} z_{ij}$ 对于所有 $i \in I$，*和* $y_j = \sum_{i \in I} z_{ij}$ 对于所有 $j \in J$。

引用了 3

引用了 VI § 1. 。向量值函数的积分, 命题 11, VI § 1, 定理 1, VI § 1

例 08JR

— 1) 如果 A 是在 A 上定义的实值函数的任何集合、空间 $\mathbf{R}^A$ 是完全格序的，则其上界的族的 $\mathbf{R}^A$ 中的上界是其*上包络*（GT，IV, §5, No. 5）。

2) 令F为任意集合； F 上*有界*实值函数的空间$\mathscr{B}(F)$，配备由$\mathbf{R}^F$诱导的阶结构，是完全格序的。然而，如果 F 是拓扑空间，则 F 上*连续*实值函数的空间 $\mathscr{C}(F)$（配有由 $\mathbf{R}^F$ 诱导的阶结构）是一个 Riesz 空间，通常不是完全晶格有序的（cf. 锻炼。13）。考虑例$F = \mathbf{R}$的情况；令I为区间]0, 1[，$\varphi_I$I的特征函数，并令H为连续函数$x(t)$的集合，使得$x \leq \varphi_I$；很明显，H 在 $\mathscr{C}(F)$ 中有界。 函数$\varphi_I$是$x \in H$的*上包络*，但它不是它们在$\mathscr{C}(F)$中的上界，因为$\varphi_I$是下半连续但不连续。让我们证明，事实上，H 在 $\mathscr{C}(F)$ 中没有上界；只要证明，如果$u$是一个连续的函数使得$u \geq \varphi_I$，那么存在一个连续的函数$v \neq u$使得$u \geq v \geq \varphi_I$。现在，$u(0) \geq 1$，因此存在数$\alpha > 0$，使得$u(t) > 0$对应于$-\alpha \leq t \leq 0$；如果 w 是连续函数，零在区间]$-\alpha, 0$ 之外，且在该区间上有 $0 < w(t) < u(t)$，则函数 $v = u - w$ 满足要求。

引用了 1

引用了 IV § 5. 。可测量函数和集合

例 08JY

在集合$A$上定义的实值函数空间$\mathbf{R}^A$中，函数集合共零子集$M$点 $A$是一支乐队。