如果满足这个条件，我们可以递归地对不相交的紧集$K_n \subset K$进行定义递归序列，使得$|\mu|(K - \bigcup_{i=1}^n K_i) \leq 1/n$并且$f$的限制对于每个$K_n$是连续的（$§ 4$、No. 6、第 4 个）； $K_n$相对于并的$K$的补集可以忽略不计（$§ 4$，No. 5，Prop.7的Cor.），因此$f$是可测的。相反，假设存在由紧集组成的$K - N$的可忽略不计的集合$N \subset K$和划分$(K_n)$，使得$f$的限制对每个$K_n$是连续的；对于每一个$\varepsilon > 0$，都存在整数$n$，这样，如果$H = \bigcup_{i=1}^n K_i$，则$|\mu|(K - H) \leq \varepsilon$（§ 4, No. 5，第7号提案的Cor.）； 集合$H$是紧致的，$H$的$K_i$($1 \leq i \leq n$)形式到紧集的有限划分，$f$到每个$K_i$的限制是连续的；因此$f$到$H$的限制是连续的。

对于每个整数$n \geq 1$，都存在紧集$K_n \subset K$，使得$f_n$到$K_n$的$|\mu|(K - K_n) \leq \varepsilon / 2^n$和限制是连续的。 集合$K_0 = \bigcap_{n=1}^\infty K_n$是紧致的，函数$f_n$中的限制到$K_0$是连续的，并且由于$K - K_0$包含在$K - K_n$、$|\mu|(K - K_0) \leq \sum_{n=1}^\infty \varepsilon / 2^n = \varepsilon$的并中。

条件是必要的，因为当$\sum_n |\mu|(A_n)$有限时，可积的集合$A_n$的序列的并是可积的（§ 4, No. 5，Prop.8的Cor.）。 条件是足够的，因为对于每个可积集合 $B$，存在可忽略不计的集合 $N \subset B$ 和划分 $B - N$ 到序列紧集 （§ 4, No. 6，第 4 章第 2 条）。

特别是，整个空间$X$是可测量的。

凭借命题3，足以证明每个相对紧的Souslin集合A都是μ可积的。现在，这样的集合 A 能够实现$|\mu|^*$（GT、IX, §6, No. 9、Th.5）。因此，对于每个 $\varepsilon > 0$ 都存在 A 的紧凑子集 K，使得 $|\mu|^*(A) \leq |\mu|^*(K) + \varepsilon = |\mu|(K) + \varepsilon$。令 U 为 X 包含于 A 中的相对紧开集合，使得

然后$|\mu|^*(U - K) = |\mu|(U) - |\mu|(K) \leq 2\varepsilon$，因此$|\mu|^*(A - K) \leq 2\varepsilon$，证明A是μ可积的（§4, No. 6，Th.4的Cor.1）。

令K为紧集；存在点 $x_i \in K$ 的有限数，使得 $V_{x_i}$ 形式覆盖 K。立即得出 (§4, No. 9，引理)，存在可忽略不计的集合 $N \subset K$ 和有限的划分 $K - N$由可积集合$M_j$组成，使得每个集合$K \cap V_{x_i}$是N的子集的并和$M_j$的某个数，并且使得在每个$M_j$上， $f$等于函数$g_{x_i}$之一。现在，对于每个$M_j$，都存在可忽略不计的集合、$N_j \subset M_j$和由紧集$K_{nj}\ (\mathbf{n} \in \mathbf{N})$的序列组成的$M_j - N_j$的划分；另一方面，对于每个$K_{nj}$，都存在由紧集$K_{mnj}\ (\mathbf{m} \in \mathbf{N})$的序列形成的可忽略不计的集合、$P_{nj} \subset K_{nj}$和$K_{nj} - P_{nj}$的划分，使得$f$的限制对于每个$K_{mnj}$ 是连续的。由于 N 的并，$N_j$ 和 $P_{nj}$ 可以忽略不计，$f$ 是可测的。

因此，可测量函数的概念是局部特征标的概念。

条件显然是足够的，因为X的每个点都有一个紧凑的邻域。这是必要的，因为如果对于每个$x \in K$，存在$x$的邻域$V_x$，使得$A \cap V_x$可以忽略不计，那么存在点$x_i \in K$的有限数，使得$V_{x_i}$形式a K 的覆盖，并且 $A \cap K$ 包含在可忽略的集合 $A \cap V_{x_i}$ 的并中。

条件显然是必要的。相反，如果满足，则A包含在可积开集合G中，它是可忽略的集合N的并和紧集的序列$(K_n)$（§ 4, No. 6，Th.4的Cor.2）；由于$A \cap N$和集合$A \cap K_n$可以忽略不计，因此它们的并A也是如此。

因为，开集合G的外部测度是紧集$K \subset G$的测度$|\mu|(K)$的上等值（§ 4, No. 6，Th.4的Cor.4）；如果 G 局部可忽略不计，则对于 G 中包含的每个紧集 K，$|\mu|(K) = 0$，因此 $|\mu|^*(G) = 0$。

由于X是序列$(K_n)$或紧集的并，所以每个局部可忽略的集合A都是可忽略的集合$A \cap K_n$的并，因此可以忽略不计。

我们可以给出在无穷大不可数的局部紧致空间的例，以及空间X的测度，使得X中存在集合，其局部可忽略但不可忽略（§ 1，Exer.5）。

对于每个紧集$K \subset X$，$K \cap N$可以忽略不计（命题5），因此，对于每个$\varepsilon > 0$，存在紧集$K_1 \subset K - (K \cap N)$使得$|\mu|(K - K_1) \leq \varepsilon$（§ 4, No. 6，Th.4），并且通过f到$K_1$的假设限制连续，从而结论。

如果 $P\{x\}$ 是性质，则性质 « P\{x\} 局部几乎处处（相对于 $\mu$）» 通过定义等价于性质 « x 的集合使得* (x $\in$ X 而不是$P\{x\}$) 局部可以忽略不计（对于测量 $\mu$）»。如果 F 是任意集合，则关系 «$f(x) = g(x)$ 局部几乎处处» 是 X 的映射的集合中的等价关系到 F 中。特别是，如果 F 是向量空间，则映射 $f$ X 代入 F 使得 f(x) = 0\text{ 局部几乎处处都被称为 } \textit{局部可忽略不计}。我们留给读者的任务是为这些概念建立大多数属性相应的，这些属性已经在§2、第4、5和6项中列举，函数几乎在任何地方都相等。我们将极限自己推论到注意到，如果X的两个\emph{连续}映射$f, g$进入豪斯多夫拓扑空间F，并且相等\emph{局部几乎处处}，则根据Cor，它们相等\emph{几乎处处}。提案 5 的第 2 条（因此在$\mu$ 的支持度每点处相等（§ 2, No. 4，提案 9））；然而，我们明确声明以下命题，即本地化的原理的直接的推论：

对于X的每个紧凑子集 K和每个数$\varepsilon > 0$，存在紧集$K_1 \subset K$使得$|\mu|(K - K_1) \leq \varepsilon$并且使得所有函数$f_n$的限制到$K_1$是连续的（No. 1，提案 2）；显然$u \circ f$在$K_1$、从而定理上连续。

将 X 的可测量映射的集合转换为拓扑向量空间 F 因此为向量空间。

In particular, if f is a measurable mapping of X into a real (resp. complex) normed space F, and g is a measurable mapping of X into R (resp. C), then gf is measurable. 如果 F 是 范数代数 并且 f、g 是 X 的两个可测的映射到 F 中，则 fg 是可测的。

第一个断言显然是第二个的结果，我们将证明这一点。 存在紧集$K_0 \subset K$使得$|\mu|(K - K_0) \leq \varepsilon/2$并且所有函数$f_\alpha$中的限制到$K_0$是连续的（No. 1，命题2）。 对于过滤器$\mathfrak{F}$，令$(A_n)$为递减可数基；设 d 是 F 上与拓扑兼容的度量。 对于整数 $n > 0,\ r > 0$中的每一个对，令$B_{n,r}$为点$x \in K_0$中的集合，这样，对于指标$\alpha, \beta$属于中的至少一个对来说， $A_n$、$d(f_\alpha(x), f_\beta(x)) \geq 1/r$；对于固定的$\alpha$和$\beta$，$x \in K_0$的集合使得$d(f_\alpha(x), f_\beta(x)) \geq 1/r$在$K_0$内闭，因此是紧的；因而，$B_{n,r}$是包含在$K_0$中的紧集的可数并，因此是可积的（§ 4, No. 5，命题6和8）。 如果$r$固定，则集合$B_{n,r}$($n = 1, 2, \ldots$)的递减序列的交具有测度零，因为相对于过滤器$\mathfrak{F}$，$f_\alpha(x)$几乎在$K_0$中几乎所有地方都趋向于$f(x)$；因而$\lim_{n \to \infty} |\mu|(B_{n,r}) = 0$（§ 4, No. 5，第7条命题的Cor.），因此存在整数$n_r$使得$|\mu|(B_{n_r,r}) \leq \varepsilon/2^{r+2}$。 设$B$为集合$B_{n_r,r}$的并（对于$r = 1, 2, \ldots$）； $B$ 可积且

（§ 4, No. 5，Cor. of Prop. 8）。设$C$为$K_0$中$B$的补集；通过构造，$f_\alpha(x)$相对于滤波器$\mathfrak{F}$在$C$中均匀收敛到$f(x)$，并且由于$f_\alpha$到$C$的限制是连续的，$f$的限制也连续$C$。然后，从$|\mu|(K - K_1) = |\mu|(K - K_0) + |\mu|(B) + |\mu|(C - K_1) \leq \varepsilon$开始，取紧集$K_1 \subset C$就足够了，使得阶中的$|\mu|(C - K_1) \leq \varepsilon/4$到叙述的满足条件。

Th 的结论。如果 $F$ 不可度量，则 2 不一定成立（例 1）。如果 $F$ 可度量，并且集合 $A$ 不可数，但过滤器 $\mathfrak{F}$ 具有可数基，则 Th 的第一个结论。 2 再次有效；因为，如果$(A_n)$是$\mathfrak{F}$的可数基，并且$\alpha_n$是$A_n$的元素，那么$f$几乎在任何地方都是序列$(f_{\alpha_n})$的极限，因此是可测的；然而，Th的第二个结论。 2 不再必然有效（cf. Exer. 4）。

因为，扩展实直线 $\overline{\mathbf{R}}$ 同胚于紧区间 $\mathbf{R}$，是可度量的。 函数$\sup_n f_n$是函数$g_n = \sup(f_1, f_2, \ldots, f_n)$的递增序列的逐点极限，可测量（No. 3，Th.1的Cor.1）；类似地，$\limsup_{n \to \infty} f_n$是函数$h_n = \sup_{p \geq 0} f_{n+p}$的递减序列逐点极限，每个都可以通过前述方法测量。最后，由于$\inf_n f_n = -\sup(-f_n)$和$\liminf_{n \to \infty} f_n = -\limsup_{n \to \infty} (-f_n)$，这些函数是可测量的。

因为，如果 M 和 N 可测量，则函数

可以通过 No. 3 来衡量，Cors。 Th的3和5。 1. 如果 $(M_n)$ 是可测量的集合的序列，并且 M 是它们的并，则 $\varphi_M = \sup_n \varphi_{M_n}$ 可以通过 Cor 测量。 1 Th。 2、从而推论。

特别是，由于开集合是可测量的：

条件对于 Egoroff 的定理和原理本地化来说就足够了。让我们证明这是必要的：到假设，存在由紧集组成的$K - N$的可忽略不计的集合$N \subset K$和划分$(K_m)$，使得$f$的限制对每个$K_m$是连续的。对于定义序列$(g_n)$，只需按以下方式进行即可：令$d$为与F的拓扑兼容的度量；对于每个 $K_i$ 和指标 $i \leq n$，存在 $K_i$ 的有限划分可积集合 $A_{ij}$ ($1 \leq j \leq q_i$) 足够小，使得$f$ 在每个 $A_{ij}$ 上的振荡为$\leq 1/n$（§ 4, No. 9，引理）；使$g_n$在每个$A_{ij}$上保持不变，等于此集合中$f$的值之一（对于$1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq q_i$），并且等于$X$中每个点的固定元素$a \in \mathbf{F}$不属于到任何 $A_{ij}$。很明显，序列$(g_n(x))$在$K$的每点收敛到$f(x)$，而不是属于到$N$。

与记号如Th的证明一样。 3，并且用$A_{ij}$中的$f$的值之一表示$a_{ij}$，则只要$|a_{ij}| \leq 1/n$和点就可以作为$A_{ij}$中的$g_n$的值，点0 $a_{ij}(1 - 1/(n|a_{ij}|))$ 否则；最后，集合$g_n(x) = 0$对$A_{ij}$($1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq q_i$)的并补。

若$X$为紧集递增序列$(A_n)$并，集合$A_n - A_{n-1}$即$X$非空形式划分可积集合；因而，存在由紧集的序列$(K_n)$形成的可忽略不计的集合$N \subset X$和$\mathbf{C}N$的划分，使得$f$的限制对每个$K_n$是连续的；然后可以像 Th 那样得出证明的结论。 3 无需修改。

It suffices to carry out the proof for the inverse image $^{-1}f(A)$ of a closed set $A$ in $F$. 设$K$是$X$的紧子集；存在由紧集组成的可忽略不计的集合 $N \subset K$ 和 $K - N$ 的划分 $(K_n)$，使得 $f$ 的限制与每个 $K_n$ 是连续的。 因而，交$K_n \cap ^{-1}f(A)$是$f$至$K_n$的限制下封闭的集合$A$的逆像；因此它是$K_n$中的闭集合，因此是紧凑的。 因而，集合$K \cap ^{-1}f(A)$是可忽略的集合$N \cap ^{-1}f(A)$和紧集$K_n \cap ^{-1}f(A)$的并，这证明$^{-1}f(A)$是可测的。

条件 a) 是第 7 条命题所必需的；另一方面，在Th的记号中。 3、 条件 b) 满足：取H为所有函数$g_n$的值构成的可数集合。

现在让我们证明条件 a) 和 b) 是充分的。令 K 为 X 的任何紧致子集； K 中存在一个可忽略的子集 N，使得 $f(K - N)$ 包含在 F 的点的可数集合闭包中，我们将其排列在序列 $(a_n)$ 中。令$A_{n,p}$为$x \in K - N$的集合，使得$d(f(x), a_n) \leq 1/p$。由条件 a) 可知 $A_{n,p}$ 是可测的。对于固定$p$，集合$B_{n,p} \subset K - N$递归设定的定义序列

集合$B_{n,p}$是可测量的，$K - N$的非空形式划分是可测量的。令$g_{m,p}$对于$1 \leq i \leq m$而言，函数等于集合$B_{i,p}$上的$a_i$，并且等于这些集合的并的补集上的常数$b \in F$； $g_{m,p}$是可测量的步长函数；由于$m$趋于无穷大，$g_{m,p}$在$B_{n,p}$（$n \geq 1$）上逐点收敛到函数$f_p$等于$a_n$，在$N \cup C K$上收敛到$b$，因此（Th.2）$f_p$是可测量的。由于$p$趋于无穷大，每$x \in K - N$，$f_p(x)$趋于$f(x)$，$x \in N \cup C K$趋于$b$；因此，$f_p$的极限是可测的，定位的原理证明了$f$本身是可测的。

因为，如果是这样，对于$x$的每个$b \in \overline{\mathbf{R}}$集合，使得$f(x) \geqslant b$是可测量的，是$x$的集合（形式一个可数族）的交使得$f(x) \geqslant a$， $a$ 运行于 D 的点集合，即$\leqslant b$。 $x$的集合使得$f(x) < b$是可测量的，是可测量的集合的补集。接下来，如果$b$是有限的，则$x$的集合使得$f(x) \leqslant b$是可测量的，即$x$的集合的交使得$f(x) < b + 1/n$；并且$f(-\infty)^{-1}$是可测量的，是$x$的集合的交使得$f(x) < n$，因为$n$超过$\mathbf{Z}$。最后，$\overline{\mathbf{R}}$的每个闭区间的$f$下的逆像是可测的，即两个可测的集合的交，以及Th。可以应用4。

类似地，我们可以证明，对于$x$的每一个$a \in \mathrm{D}$，集合就足够了，这样$f(x) > a$是可测量的。

因为，如果$f$是下半连续的，那么$x \in \mathrm{X}$的集合使得$f(x) \leqslant a$对于每个$a \in \overline{\mathbf{R}}$都是闭的。

当 F 可度量且*紧凑*时，Prop.7 使得锐化 Th 成为可能。 3如下：

令$d$为与F的拓扑兼容的度量。对于每个正整数$n$，都存在点$a_k \in \mathrm{F}$的*有限*数，使得具有中心$a_k$和半径的闭球$B_k$ $1/n$ 形式 F 的覆盖；因而，集合 $A_k = f^{-1}(B_k)$ 是可测量的（第 7 条），并且形式覆盖了 X。因而，(§ 4, No. 9，引理)存在X的划分$(C_i)$到可测量集合的有限数，使得每个$A_k$是$C_i$中某些并。令$c_i$为$C_i$的点，并让$g_n$为可测量步长函数，等于$C_i$上的$f(c_i)$（对于每个指标$i$）。很明显，$d(f(x), g_n(x)) \leqslant 2/n$ 对于所有$x \in \mathrm{X}$。

条件显然是必要的（No. 3，Th.1），让我们证明它是充分的；验证 Th 的条件 a) 就足够了。 4 并且，为此，

1 参见§ 2, No. 4末尾的脚注。

通过原理的定位就足以证明，对于X的每个紧凑子集 K和每个$B \subset F$，具有中心$a$和半径$r$，集合$A = K \cap f^{-1}(B)$是可测量的；现在，对于每 $z \in F$，

因而 $A$ 是 $K$ 和集合的交定义为

因为这些集合可以通过假设测量，所以 $A$ 是可以测量的。

a) 对于每个 $a' \in F'$，标量函数 $x \mapsto \langle f(x), a' \rangle$ 是可测量的；

b) 对于每个紧集 $K \subset X$，存在 F 的可数子集 H，使得 $f(x) \in \overline{H}$ 对于几乎每个 $x \in K$。

条件的必要性由No. 3, Th 推出。 1、和钍。 4. 为了证明条件是充分的，再次验证Th的条件a)就足够了。 4. 对于第 10 条提案中的证明中的记号，我们可以（考虑到 b））假设，如果需要的话，之后在可忽略不计的集合上修改$f$，即 $f(K) \subset \overline{H}$，其中 $H$ 是可数的子集 $F$。如果$V$是集合$H \cup \{a\}$生成$F$的闭合线性子空间，则$V$是可分离的Banach空间，$V$上的每个连续线性形式都是形式的限制 $a' \in F'$；与命题 10 中相同的推理则表明$K \cap f^{-1}(B)$是可测量的。

我们可以将F视为Banach 空间（TVS，II, §4, No. 3）的可数乘积$\prod_n E_n$的子空间，并且我们可以假设$\operatorname{pr}_n(F)$在$E_n$中稠密，因此是可分的。对于每个 $n$，映射 $\operatorname{pr}_n \circ f$ 都可以通过命题 10 来测量，因而 $f$ 可以通过 No. 3, Th 来测量。 1.

No. 3、Th 之前需要条件。 1;让我们证明它是足够的。首先假设 F 可度量且可分离，令 D 为 F 中的可数稠密集合。令 $(V_n)$ 为 F 中 0 的平衡凸开邻域的递减基序列；极坐标集合 $V_n^\circ$ 是等连续的，并且它们的并都是 $F'$。令 $X_n = f^{-1}(V_n^\circ)$； 序列$(X_n)$为递增和$X = \bigcup_n X_n$；让我们证明每个 $X_n$ 都是 $\mu$ 可测量的。事实上，$D \cap V_n$在$V_n$中是稠密的；对于每个$y \in D \cap V_n$，令$S_y$为$x \in X$的集合，使得$|\langle y, f(x) \rangle| \leq 1$； 假设意味着$S_y$ 中的每一个都是可测量的，$X_n$ 是$S_y$ 可数族中$y \in D \cap V_n$ 的交。因此，对于 X 的每个紧致子集 K 和每个 $\varepsilon > 0$，都存在整数 n 使得 $|\mu|(K - (K \cap X_n)) \leq \varepsilon/4$，然后存在 $K \cap X_n$ 的紧致子集 $K_1$ 使得 $|\mu|((K \cap X_n) - K_1) \leq \varepsilon/4$；最后，存在 $K_1$ 的紧致子集 $K_2$，使得 $|\mu|(K_1 - K_2) \leq \varepsilon/2$ 并且所有函数 $\langle y, f \rangle$ 的限制到 $K_2$，其中 $y \in D$ 是连续的（No. 1，命题 1）。 2）。由于集合$f(K_2) \subset f(X_n) \subset V_n^\circ$等连续，$\sigma(F', F)$在$f(K_2)$上诱导的拓扑与D中逐点收敛的拓扑相同（GT，X, §2, No. 4，Th.1）；因此，f 到 $K_2$ 的限制是连续的，在第一种情况下，从而我们的断言。

让我们讨论一般情况。如果$z'$是F上的连续线性形式，则其限制$z'_n$到$F_n$是连续的；从$F = \bigcup_n F_n$开始，F的对偶$F'$可以用乘积$\prod_n F'_n$的线性子空间（代数上）来识别，然后是$\operatorname{pr}_n(z') = z'_n$。此外，由于F的每个有限子集都包含在$F_n$之一中，因此拓扑$\sigma(F', F)$正是由拓扑$\sigma(F'_n, F_n)$的乘积拓扑引起的拓扑。既然如此，如果$\langle a, f \rangle$对于每个$a \in F$都是可测量的，那么对于每个n和每个$a_n \in F_n$来说$\langle a_n, \operatorname{pr}_n \circ f \rangle$也是可测量的，因为$\langle a_n, \operatorname{pr}_n \circ f \rangle = \langle a_n, f \rangle$； 证明的第一个部分则表明$\operatorname{pr}_n \circ f$对于每个n都是可测量的，因此f（No. 3，Th.1）也是可测量的。

条件是必要的：因为，如果$f \in \mathscr{L}_F^p$，则存在连续函数的序列$(g_n)$，具有紧支撑，几乎处处收敛于f（$§ 3$，No. 4，Th.3的Cor.2）；通过 Th。 No. 4中的2，f是可测的。

为了证明条件是充分的，我们首先建立引理：

令 $A_n$ 为点 $x \in X$ 中的集合，使得 $|g(x)| \geq 1/n$； A为$A_n$中的并、$\varphi_{A_n} \leq n|g|$、从而$|\mu|^*(A_n) \leq (n N_p(g))^p$；由此可见，$A_n$包含在可忽略不计的集合的并和紧集的序列中（§ 4, No. 6，Th.4的Cor.3），因此A也是如此。

引理证明，首先考虑 f 有 compact 支持 K 的情况。 1 Th。 No. 5中的3个，存在可测量步长函数的序列$(g_n)$，使得$|g_n(x)| \leq |f(x)|$在每个点$x \in X$并且$g_n(x)$几乎在任何地方都趋向于$f(x)$。此时，$g_n$是K中可测的集合的特征函数的线性组合；因为这些集合可以通过 No. 1、$g_n$ 属于到 $\mathscr{L}_F^p$ 的命题 3 进行积分。从$N_p(f) < +\infty$开始，勒贝格的定理（§ 3, No. 7，Th.6）表明f属于到$\mathscr{L}_F^p$。

一般情况下，从引理 1 可以得出，紧集存在递增序列 $(K_n)$，使得$f(x)$ 几乎在$K_n$ 的并的补码中都是零。令 $f_n$ 函数在 $K_n$ 上等于 $f(x)$，在其他地方等于 0； $f_n$ 可通过 No. 3 测量，Cor。 5 Th。 1;从参数的第一个部分开始，从 $|f_n| \leq |f|$、$f_n$ 属于到 $\mathscr{L}_F^p$。由于$f(x)$几乎处处都等于序列$f_n(x)$的极限，勒贝格的定理再次证明$f \in \mathscr{L}_F^p$，从而完成证明。

应该注意注函数 局部可忽略但不可忽略 不可积；因此，函数*局部几乎处处*等于可积函数不一定是可积的。