a) 如果 N ⊂ B 局部 ν 可忽略，则 $\overline{\pi}(N)$ 局部 μ 可忽略。 b) 如果 f 是 B 上的 ν 可测函数（拓扑空间中的值），则 $f \circ \pi$ 在 X 上可测 μ。

令 K 为 X 的紧致子集。我们要证明$\overline{\pi}(N) \cap K$是μ可忽略的，并且$f \circ \pi$到K的限制是μ可测的。现在，K 是 μ 可忽略的集合的并和紧致子集 $K_n$ 的序列，使得 $\pi|K_n$ 是连续的。只要证明$\overline{\pi}(N) \cap K_n$是μ可忽略的，并且$f \circ \pi$到$K_n$中的限制是μ可测的就足够了。因此，我们可以假设 $\pi|K$ 是连续的。那么 $\pi(K) = K'$ 是紧致的。由于 $\overline{\pi}(N) \cap K = \overline{\pi}(N \cap K') \cap K$ 和 $N \cap K'$ ν 可以忽略不计，因此我们可以假设 N 是 ν 可以忽略不计。那么 N 包含在 ν-可忽略的集合 $N'$ 中，它是开集合的可数交（第 IV, §4, No. 6，第 4 章的 Cor. 2）。由于 $\pi$ 是 μ 可测的，$\overline{\pi}(N')$ 是 μ 可测的（章节 IV, §5, No. 5，命题 7），因此 $\overline{\pi}(N') \cap K$ 是 μ 可积的，并且（章节 V, §3, No. 4，Th. 1）

*参见。章。 V, §6, No. 6，科。提案 10 中的 1 条； Ch的第二版。当 Ch.1 时，V 不可用。 VII已出版。

现在，如果 $b \notin N'$，$\pi^{-1}(N') \cap K$ $\lambda_b$ 可以忽略不计，因为 $\lambda_b$ 通过假设集中在 $\pi^{-1}(b)$ 上。因此$\mu(\pi^{-1}(N') \cap K) = 0$。 更不必说，$\pi^{-1}(N) \cap K$是$\mu$-可以忽略不计，并且a）确实已被证明。另一方面，存在由$\nu$可忽略的集合$M$和紧集的序列$(K'_n)$形成的$K'$的划分，使得$f|_{K'_n}$是连续的。那么$f \circ \pi$到每个集合$\pi^{-1}(K) \cap K'_n$的限制是连续的，并且$\pi^{-1}(M) \cap K$是$\mu$-可以被a)忽略，因此$f \circ \pi$到$K$的限制确实是$\mu$-可测量。

Exercises