因为，验证$\Lambda$对于$T$上的正测度$\eta$在标量上本质上可积，归结为验证$t \mapsto \lambda_t(g)$是$\eta$可测的，并且对于每个函数$g \in \mathscr{H}_+(X)$，对于$\eta$，承认有限本质上积分。因此，命题立即由§1, No. 4的第11条命题及其推论2得出。

紧接着，对于每个测度 $\mu' \leq \mu$，每个标量本质上 $\mu$ 可积的映射也是标量本质上 $\mu'$ 可积的。

在这个截面中，我们将极限自己研究$T$的标量本质上可积的映射到$\mathscr{M}_+(X)$，在下面的定义中考虑了性质：

a) 如果$\Lambda$是模糊连续的，那么映射$t \mapsto \lambda_t^\bullet(f)$对于$X$上定义的每个下半连续函数$f \geqslant 0$来说是下半连续的，$\Lambda$是$\mu$-充分的，并且我们有关系

b) 如果 $\Lambda$ 模糊地 $\mu$ 可测量，则 $\Lambda$ $\mu$ 足够。

c) 如果 $X$ 的拓扑承认可数基，则 $\Lambda$ 隐约是 $\mu$ 可测量的（因此 $\mu$ 也是足够的）。

设$f$是定义在$X$上的下半连续函数$\geqslant 0$。设$F$为集合，针对关系$\leqslant$，函数$g \in \mathscr{K}(X)$，使得$0 \leqslant g \leqslant f$。对于$g \in F$，用$h_g$表示，函数在$T$上定义为$h_g(t) = \lambda_t(g)$。同样，集合

（§1, No. 1，提案 4）。让我们制作以下假设，比a)弱：仅假设$\Lambda$到$S$的限制是模糊连续的，其中$S$是$T$的闭子集，包含是$\mu$的支持。对于$g \in F$，用$\overline{h}_g$表示数字函数，重合在$S$上有$h_g$并且在$C_S$上有值$+\infty$。 集合$\overline{h}_f = \sup_{g \in F} \overline{h}_g$；然后$\overline{h}_f = h_f$上$S$。对于每个 $g \in F$，函数 $\overline{h}_g$ 是下半连续；因此$\overline{h}_f$是下半连续的，并且由于族$(\overline{h}_g)_{g \in F}$是有向的，

（第 IV, §1, No. 1、第 1 章和§2, No. 3、第 6 条提案）。由于$h_f = \overline{h}_f$在$S$上，因此几乎在任何地方，这也可以写成$\mu^*(h_f) = \nu^*(f)$，等式，与(5)相同。类似地，$f$和$\overline{h}_f$是下半连续的，前面的关系产生等式$\mu^\bullet(\overline{h}_f) = \nu^\bullet(f)$（§1, No. 1，命题4）；由于$\overline{h}_f = h_f$在$S$上，因此$\mu^\bullet(h_f) = \nu^\bullet(f)$（§1, No. 1，命题1），等式与（4）相同。因此映射 $\Lambda$ 是 $\mu$-预充足；但我们可以用$\mu' \leqslant \mu$替换$\mu$，用$\nu' = \int \lambda_t \, d\mu'(t)$替换$\nu$，因为$\Lambda$本质上也是$\mu'$可积的，并且$S$包含是$\mu'$的支持。由此可见，$\Lambda$ $\mu$ 是足够的。

假设$\Lambda$是模糊连续的；我们可以取$S = T$；那么$h_f = \overline{h}_f$是下半连续，它完成了叙述的部分a)的证明。

假设 $\Lambda$ 模糊地 $\mu$ 可测，让我们证明 b)。 T 的紧致子集 K 的集合 $\mathscr{K}$，使得 $\Lambda$ 到 K 的限制是连续的 $\mu$ 稠密（第 IV, §5, No. 10，第 15 章），存在 T 上测度的可和族 $(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$ 使得 $\mu = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha$以及对$\mu_\alpha$属于至$\mathscr{K}$每项措施的支持（§2, No. 3，提案4）。对于每个 $\alpha \in A$，映射 $\Lambda$ 本质上是 $\mu_\alpha$ 标量可积，并且我们集合 $\nu_\alpha = \int \lambda_t d\mu_\alpha(t)$；族$(\nu_\alpha)$是可求和的，其和等于$\nu$（命题1的Cor.）。如果$f$是在X上定义的正下半连续函数，则将证明的第一个部分应用于度量$\mu_\alpha$和封闭的集合$S_\alpha$，表明：

对于每个 $\alpha \in A$，$1^\circ$ $h_f$ 是 $\mu_\alpha$ 可测量的，因此 $\mu$ 可测量（§2, No. 2，命题 2），并且

$2^\circ$$\int^* f(x) d\nu_\alpha(x) = \int^* d\mu_\alpha(t) \int^* f(x) d\lambda_t(x)$。

公式 (4) 是对$\alpha$（§2, No. 2，命题 1）求和的结果。 应用前面对任意测度$\mu' \leq \mu$的论证（这是合法的，因为$\Lambda$本质上是$\mu'$可积且模糊地$\mu'$可测量，cf.§2, No. 2，命题2），我们结论 $\Lambda$是$\mu'$-预充分，并且b)被证明。

最后，假设 X 的拓扑承认可数基，让我们证明 T 的每个标量本质上 $\mu$ 可积到 $\mathscr{M}_+(X)$ 的映射 $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ 都是模糊地 $\mu$ 可测的。这将由以下引理产生：

令 $X'$ 为 X 的 Alexandroff 紧致化，这是一个可度量的紧致空间（GT、IX, §2, No. 9、Prop. 16 和 Cor.）；我们认同$\mathscr{K}(X)$与子集$\mathscr{C}(X')$。令 $S'$ 为 Banach 空间 $\mathscr{C}(X')$ (GT, X, §3, No. 3, Th. 1) 的可数稠密子集；我们可以假设对于每个 $n \in \mathbf{N}$，$S'$ 包含都是常数函数 $n$。令$(U_n)$为X中相对紧开集合的序列，且并X，使得$\overline{U}_n \subset U_{n+1}$对于所有n（GT，I, §9, No. 9，命题15），并令$\varphi_n$为$\mathscr{K}_+(X)$中的函数等于$\overline{U}_n$中的1。我们用 S 表示形式 $\varphi_n g$ ($n \in \mathbf{N}, g \in S'$) 的$\mathscr{K}(X)$ 元素可数集合。如果$f \in \mathscr{K}(X)$，令$(g_n)$为$S'$的元素的序列一致收敛于$f$，并令k为整数，使得$f$的支持度包含在$U_k$中。最后，令 m 为整数，即范数函数 $g_n$ 的上界。 函数 $f_n = \varphi_k g_n$ 属于至 S 和满足叙述，以及 $\varphi = m \varphi_k$。

引理已成立，并且映射 $t \mapsto \lambda_t(g)$ 对于 T 的每个 $g \in S$、映射 $t \mapsto (\lambda_t(g))_{g \in S}$ 本质上是 $\mu$ 可积为 $\mathbf{R}^S$ 的 $\mu$ 可测（第 IV, §5, No. 3、Th.1）。 T 的紧致子集 K 的集合 $\mathscr{K}$，使得该映射到 K 的限制是连续的，因此是 $\mu$ 稠密的，并且足以证明 $\Lambda$ 到每个 $K \in \mathscr{K}$ 的限制是连续的。现在，令$f$为引理的S满足叙述的$\mathscr{K}(X)$、$f_n$和$\varphi$元素中的任意元素； 函数$t \mapsto \lambda_t(f)$则为连续函数$t \mapsto \lambda_t(f_n)$在K上的一致极限；因此它在 K 上连续，命题得证。

令 g 为 X 上的下半连续函数，使得 $f \leqslant g$。对于每个$t \in T$，

因此，根据(4)和§1的命题4，

然后，第一个不等式 (6) 从 $\int^* f(x)\, d\nu(x)$ 的定义得出（Ch. IV, §1, No. 3，定义 3），第二个不等式立即从它得出。如果$\Lambda$是模糊连续的，则使用（5）而不是（4）来以类似的方式证明不等式（7）。

让我们转到 (8) 的证明。 映射 $t \mapsto \lambda_t^*(1)$ 是可测量的，并且局部有限 $\mu$ - 几乎无处不在。 $T$的紧致子集的集合$\mathscr{K}$，$t \mapsto \lambda_t^*(1)$到$K$的限制是有限且连续的，因此是$\mu$稠密，§2, No. 3的第4条意味着存在一个可和族$(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$积极措施，支持属于到$\mathscr{K}$，这样$\mu = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha$。 映射 $\Lambda$ 是 $\mu_\alpha$ - 对于每个 $\alpha \in A$ 来说足够了； 集合$\nu_\alpha = \int \lambda_t d\mu_\alpha(t)$。命题 1 表明，将 $\nu = \sum_{\alpha \in A} \nu_\alpha$ 和关系 (4) 应用于测度 $\mu_\alpha$ 和函数 1，表明 $\nu_\alpha$ 是有界测度（因为 $\lambda_t^*(1)$ 在 $\operatorname{Supp}(\mu_\alpha)$ 上有界）。然后让我们将$\mu_\alpha$测度写成公式(6)，替换通过$\int^\bullet$第一个成员中的符号$\int^*$，这根据§1的第7条命题是合法的；然后

（最后一个等式是因为$\lambda_t$几乎在任何地方都有局部有界，以及§ 1的第7条命）。然后通过对$\alpha$求和得到(8)中的不等式（§2, No. 2，命题1）。

如果没有生成类似于 c) 的假设，则不等式 (8) 可能会失败（例 2）。

对于，$f$是函数$f_n \geq 0$序列的和，使得$f_n$对于$n \geq 1$来说在紧集$K_n$之外是零，并且$f_0$是$\nu$-可忽略不计（§1, No. 2，第 6 条）；那么$f_0$是$\lambda_t$-可以忽略的，除了$t$形成集合是局部$\mu$-可以忽略的（甚至$\mu$-可以忽略，如果$\Lambda$是模糊连续的）。 1，然后紧接着是叙述。

b) 假设 f 在 ν 调节的子集 X 的补集上是常数，并且 Λ 是模糊连续的；那么 M 可以忽略不计。

c) 假设$\lambda_t^\bullet(1) < +\infty$局部μ-几乎无处不在；那么 M 局部 μ 可以忽略不计。

让我们首先证明a）（分别b））。由于每个 ν 可积集合都包含在 ν 可积开集合中，因此函数 f 在 ν 可积开集合的可数并的补 B 上是常数。存在由 ν 可忽略的集合 N 和紧集的序列 $(K_n)$ 形成的 X − B 的划分，使得 f 的限制对于每个 $K_n$ 都是连续的。令 S 为集合的集合或 $t \in T$，使得 N $\lambda_t$ 不可忽略：S 通过 Cor 局部可忽略（或可忽略）。命题 3 的 1. 集合 $K_n, B, N$ 对于 X 上的每一个测度都是可测的，而 f 的限制对于每个 $t \notin S$ 都是 $\lambda_t$ 可测的。因此，对于每个 $t \notin S$，函数 f 都是 $\lambda_t$ 可测量的（第 IV, §5, No. 10 章，第 16 条命题）。

为了成立c)，让我们再次讨论命题3的证明中的记号；由于 f 是 ν 可测的，因此它对于每个测度 $\nu_\alpha \leq \nu$ 都是可测的。现在，这些措施是有界的，因此是缓和的，并且从 a) 可以得出，对于每个 $\alpha \in A$，M 是局部$\mu_\alpha$-可忽略不计的。这意味着 M 局部 μ 可以忽略不计（§2, No. 2，命题 1 的 Cor.2）。

a) 假设 f 是 ν 调节的。 集合 N 局部 μ 可以忽略不计，函数 $t \mapsto \int^\bullet f(x) d\lambda_t(x)$ 是 μ 可测的，并且

b) 假设 f 是 ν 调节的，并且 Λ 是模糊连续的。 集合 N 是 μ 可忽略不计的，函数 $t \mapsto \int^* f(x) d\lambda_t(x)$ 是 μ 可测量和 μ 调节的，并且

c) 假设 $\lambda_t^\bullet(1) < +\infty$ 局部 μ-几乎无处不在。 集合 N 局部 μ 可忽略，函数 $t \mapsto \int^\bullet f(x) d\lambda_t(x)$ μ 可测，且 (9) 成立。

让我们首先证明 a) (b))，假设 f 是 ν 调节的。关于集合 N 的断言已经成立（提案4，以及提案3的Cor.2）。根据§1, No. 2的第6号提案，在以下每种特殊情况下，我们可以将极限自己证明a）（或b））：

1) 函数 $f$ 是$\nu$-可以忽略不计。 2) 存在紧集$K$，使得$f$在$K$之外是零，并且$f$到$K$的限制是连续的。

特殊情况 1) 已被处理（Prop. 3 的 Cor. 1）。为了处理第二个，我们用$G$表示$\nu$可积开集合包含$K$，用$M$表示$f$的常数上界，用$h$表示下半连续函数 $M \varphi_G$，以及$g$函数$h - f$。由于函数$f$在$X$上是上半连续，$g$是下半连续且正。此外，$f, g, h$是$\nu$可积的。

然后，让我们将公式 (4)（或 (5)）应用于下半连续函数 $h$ 和 $g$。通过减法，我们看到函数

是 $\mu$ 可测的，且公式 (9) (resp. (10)) 成立。最后，在b)的假设下，函数$t \mapsto \int^* f(x)\, d\lambda_t(x)$具有有限上积分，因此确实是$\mu$调节的。

为了证明c），让我们再次采用第3条第证明的措施$\mu_\alpha$和$\nu_\alpha$；由于 $f$ 是 $\nu_\alpha$ 可测量且 $\nu_\alpha$ 可调节，断言 a) 意味着 $t \mapsto \int^\bullet f(x)\, d\lambda_t(x)$ 是 $\mu_\alpha$ 可测量，并且

它仅保留到 $\alpha$、应用道具上的和。 §2, No. 2 的 1 和 2。

如果 $f$ 不被假定为 $\nu$ 调节的，并且如果在 c) 中没有得到假设，则关系 (9) 可能不成立（例 3）。

这立即源自第 5 条命题和可积性标准（第 IV, §5, No. 6 章，第 5 章）。

a) 如果 $f$ 是 $\nu$ 可积，则 $H$ 局部 $\mu$ 可忽略不计，函数 $t \mapsto \int f(x)\, d\lambda_t(x)$（为 $t \notin H$ 定义）本质上是 $\mu$ 可积，并且

b) 如果$f$是$\nu$可积且$\Lambda$是模糊连续的，那么$H$此外$\mu$可忽略不计，函数$t \mapsto \int f(x)\, d\lambda_t(x)$（为$t \notin H$定义）是$\mu$可积。

c) 如果 $\lambda_t^*(1) < +\infty$ 局部 $\mu$ - 几乎无处不在，那么 a) 的结论对于 $f$ 本质上 $\nu$ 可积函数仍然成立。

我们首先要建立a）（分别b））。当$f$是正数函数时，叙述为真（命题5）；如果 $f$ 是可积函数，$\overline{\mathbf{R}}$ 中有值，则该结果可应用于正函数、$f^+$ 和 $f^-$，因此通过减法将扩展立即减至 $f$。剩下的就是用$F$中的值来处理函数的情况。设$\mathscr{H}$为由线性组合构成的$\mathscr{L}_F^1(\nu)$的子空间，系数在$F$，函数的系数在$\mathscr{K}(X)$；与实函数有关的结果立即意味着叙述对于$\mathscr{H}$的元素的有效性。现在，$\mathscr{H}$在$\mathscr{L}_F^1(\nu)$中是稠密的；因此，对于每个$f \in \mathscr{L}_F^1(\nu)$，都存在序列$(f_n)$ / 元素 / $\mathscr{H}$，它们具有以下属性：

1) 序列 $(f_n)$在$\mathscr{L}_F^1(\nu)$和$\nu$中均值收敛于$f$——几乎处处； 2) 函数 $g = |f_0| + \sum_{n \in \mathbf{N}} |f_{n+1} - f_n|$ 使得 $\nu^*(g) < +\infty$ (Ch. IV, §3, No. 4, Th. 3)。

令$N_1$为$t \in T$的集合，使得$\lambda_t^*(g) = +\infty$； $N_1$ 与公式 (6) (或 (7)) 的局部$\mu$可忽略不计（或$\mu$可忽略不计）。对于 $t \notin N_1$，$f_n$ 属于到 $\mathscr{L}_F^1(\lambda_t)$、序列 $(f_n)$ 几乎处处收敛于 $\lambda_t$，对于拓扑，$\mathscr{L}_F^1(\lambda_t)$ 中均值收敛（第 IV, §3, No. 3，提案 6）。令$M$为$x \in X$的集合，使得$f_n(x)$不会收敛到$f(x)$：因为$M$是$\nu$可忽略不计，集合$N_2$为$t \in T$，使得$M$ 不是 $\lambda_t$-可以忽略不计，是局部 $\mu$-可以忽略（或$\mu$-可以忽略）。提案 3 中的 1 条。

假设$t$不属于到$N_1 \cup N_2$； 序列$(f_n)$均值收敛于$\mathscr{L}_F^1(\lambda_t)$，并且$\lambda_t$几乎处处收敛到$f$。因此$f \in \mathscr{L}_F^1(\lambda_t)$和$\int f\, d\lambda_t = \lim_{n \to \infty} \int f_n\, d\lambda_t$（第IV, §4, No. 1章）。因此，叙述中的集合$H$包含在$N_1 \cup N_2$中；因此，它在本地$\mu$可以忽略不计（分别为$\mu$可以忽略不计）。另一方面，函数$t \mapsto \int f\, d\lambda_t$局部等于$\mu$-几乎处处等于$\mu$的序列的极限-可测量的函数；因此它是$\mu$-可测量的。最后，对于每个$t \notin N_1 \cup N_2$和每个$n$，我们有

凭借不等式 $|f_n| \leq g$ 和第 2 章的 Prop. 2 IV, §4, No. 2。现在，函数$t \mapsto \int^* g(x)\, d\lambda_t(x)$本质上是$\mu$可积（或$\mu$可积），根据命题5。因此，我们可以应用勒贝格的定理，得出 由于$\int f_n(x)\, d\nu(x)$趋于$\int f(x)\, d\nu(x)$，而$n$趋于$\infty$，根据序列$(f_n)$的假设，关系(11)如下，我们证明了a)(b))。

现在假设$\lambda_t^\bullet(1) < +\infty$局部$\mu$几乎无处不在，并且$g$本质上是一个$\nu$可积函数。令$f$为$\nu$可积函数，使得$g = f$局部$\nu$-几乎处处（§ 1, No. 3）。那么 $g = f$ 几乎无处不在 $\lambda_t$，除了 $t$ 形成局部 $\mu$ 可忽略不计的集合 $P$（第 3 条的 Cor. 1 c）。因此 $\int g\, d\lambda_t = \int f\, d\lambda_t$ 对于所有 $t \notin P \cup H$，这完成了证明。

条件显然是必要的；另一方面，它是足够的，因为每个正测度$\mu$都是具有紧凑支持的测度系列中的和（§2, No. 3，命题4）：叙述则由§2, No. 2的命题2得出。

令$\mathscr{K}$为T中紧集的集合，使得$f$的限制到K是连续的；由于 $\mathscr{K}$ 是 $\mu$ 稠密（第 IV, §5, No. 10 章，第 15 章），因此存在 $\mathscr{K}$ 的成对不相交的元素的局部可数族 $(K_i)_{i \in I}$，使得集合 $N = T - \bigcup_{i \in I} K_i$ 是局部的$\mu$-可以忽略不计（第 IV, §5, No. 9 章，第 14 条提案）。令$x$为F的元素； 集合

函数 $f$ 和 $f'$ 在局部 $\mu$ 上相等——几乎在任何地方。另一方面，对于 T 中的每个紧集 K，$N \cap K$ 是 K 的 Borel 子集，因为族 $(K_i)$ 是局部可数的。由此可见，N 是普遍可测的集合，$f'$ 是普遍可测的函数（第 IV, §5, No. 10 章，第 16 条命题）。