习题 4, § 1

令 T、X、Y 为三个局部紧致空间，其中X在无穷大处可数。令 $\mu$ 为 T 上的正测度，$(\lambda_t)_{t \in T}$ $\mu$-充分$^1$ X 和$\nu = \int \lambda_t d\mu(t)$ 上的正测度系列。假设以下两个条件之一成立： a) Y 具有可数基； b) 测度 $\nu$ 是有界的。 在这些条件下，如果$\pi$是X的$\nu$-固有映射进入Y，那么$t \in T$的集合使得$\pi$不是$\lambda_t$-固有，在局部$\mu$-可以忽略不计；此外，Y 上的积极措施的族$(\pi(\lambda_t))_{t \in T}$（在 T 中几乎所有地方都在本地定义）是$\mu$-充分的，并且

（在情况 a）中，应用 Exer。 2至$\rho_x = \varepsilon_{\pi(x)}$。在情况 b) 中，注表明 $\lambda_t$ 几乎在任何地方都有局部有界，并且约化表明映射 $t \mapsto \pi(\lambda_t)$ 隐约是 $\mu$ 可测的（cf. 第 V, §3, No. 2，第 4 条）。给定数 $\varepsilon > 0$ 和 T 的紧凑子集 K，首先观察X 递增序列 $(F_m)$ 中存在紧集，使得限制 $\pi$ 对于每个$F_m$ 是连续的，因此，在设定 $N_m = X - F_m$，$\nu(N_m) \leq \varepsilon/4^m$。令 $A_m$ 为 $t \in K$ 的集合，使得 $N_m$ 不可积 $\lambda_t$ 或使得$\lambda_t(N_m) > 1/2^m$；如果A是$A_m$中的并，则$\mu(A) \leq \varepsilon/2$。令$K_1$是$K - A$的紧凑子集，使得$\mu(K - K_1) \leq \varepsilon$，并且对于每个函数$g \in \mathscr{K}(X)$，$t \mapsto \int g(x) d\lambda_t(x)$到$K_1$的限制是连续的。使用Urysohn的定理，证明对于每个函数$f \in \mathscr{K}(Y)$，$t \mapsto \int f(\pi(x)) d\lambda_t(x)$的限制到$K_1$是连续函数的均匀极限。）