(i) 局部凸空间 $\mathscr{K}(X; E)$ 是 Hausdorff。对于$X$的每个紧致子集$K$，由$\mathscr{K}(X; E)$的紧致在$\mathscr{K}(X, K; E)$上诱导的拓扑是在$K$中一致收敛的拓扑，并且每个子空间$\mathscr{K}(X, K; E)$在$\mathscr{K}(X; E)$中都是封闭的。

(ii) 如果$E$是局部凸空间$E_i$($1 \leq i \leq n$)的有限数的乘积，则映射$f \mapsto (\mathrm{pr}_i \circ f)$是空间$\mathscr{K}(X; E)$的同构到乘积空间$\prod_{1 \leq i \leq n} \mathscr{K}(X; E_i)$.

(iii) 如果$X$是局部紧凑空间的族$(X_\lambda)_{\lambda \in L}$的和，则映射$f \mapsto (f|X_\lambda)_{\lambda \in L}$是拓扑直和上空间$\mathscr{K}(X; E)$的同构家庭空间$(\mathscr{K}(X_\lambda; E))_{\lambda \in L}$.

(i) 注，在$\mathscr{K}(X; E)$上，$X$一致收敛的拓扑与$\mathscr{K}(X; E)$的向量空间结构兼容，因为对于每个$f \in \mathscr{K}(X; E)$，有（紧）支持$S$， 集合 $f(X) = f(S) \cup \{0\}$ 是紧致的，因此有界于 $E$（TVS，III, §3, No. 1，命题 1）。由于这个拓扑$\mathscr{T}_0$是局部凸的，并且诱导在$K$均匀收敛的每个$\mathscr{K}(X, K; E)$拓扑上，所以$\mathscr{K}(X; E)$上的直极限拓扑$\mathscr{T}$也是如此（TVS， II, §4, No. 4,*注*);此外，$\mathscr{T}$比$\mathscr{T}_0$是更细，并且$\mathscr{T}_0$是Hausdorff，因此$\mathscr{T}$是Hausdorff。最后，假设函数$f \in \mathscr{K}(X; E)$属于到$\mathscr{K}(X, K; E)$的闭包；到定义，存在$X$的紧子集$K' \supset K$，使得$f \in \mathscr{K}(X, K'; E)$。综上所述，$f$属于到空间$\mathscr{K}(X, K'; E)$中的$\mathscr{K}(X, K; E)$关闭，因此属于到$\mathscr{K}(X, K; E)$。

(ii) 直极限（TVS，II, §4, No. 4，命题 5）中的连续性准则立即表明映射 $f \mapsto (\mathrm{pr}_i \circ f)$ 是连续的，并且逆矩阵映射也是如此（对于后者，满足注即可，如果对于每个函数 $f_i \in \mathscr{K}(X; E_i)$，1表示$f'_i$映射

² 极限感性，在 S、A 和 GT 中翻译为“直极限”。

将X转化为E，使得$\mathrm{pr}_i \circ f'_i = f_i$和$\mathrm{pr}_j \circ f'_i = 0$对应于$j \neq i$，则映射$f_i \mapsto f'_i$中的每一个都是连续的）。

(iii) X 的每个紧致子集 K 仅与 $(X_\lambda)_{\lambda \in L}$ 的有限子族 $(X_\lambda)_{\lambda \in H}$ 的 $X_\lambda$ 相交，如果集合 $K_\lambda = K \cap X_\lambda$ 与 $\lambda \in H$、映射相交，则为直接的 $f \mapsto (f|X_\lambda)_{\lambda \in H}$ 是 $\mathscr{K}(X, K; E)$ 的同构到$\prod_{\lambda \in H} \mathscr{K}(X_\lambda, K_\lambda; E)$。相反，对于每个函数$f_\lambda \in \mathscr{K}(X_\lambda; E)$，令$f''_\lambda$为X的映射进入E，使得$f''_\lambda|X_\lambda = f_\lambda$和$f''_\lambda|X_\mu = 0$对于$\mu \neq \lambda$； $\mathscr{K}(X_\lambda; E)$到$\mathscr{K}(X; E)$的映射$f_\lambda \mapsto f''_\lambda$连续就是直接的。 断言 (iii) 由注和直极限中的连续性标准得出（TVS，II, §4, No. 4，第 5 条）。

(i) 如果 E 是 Fréchet 空间，则空间 $\mathscr{K}(X; E)$ 被桶装。

(ii) 如果 X 是仿紧的，那么对于 $\mathscr{K}(X; E)$ 中的每个有界集合 B，都存在 X 的紧子集 K，使得 $B \subset \mathscr{K}(X, K; E)$。

假设 E 是 Fréchet 空间。然后，对于 X 的每个紧凑子集 K，$\mathscr{K}(X, K; E)$ 是 Fréchet 空间，因此是桶装的，并且我们知道桶装空间的直极限是桶装的（TVS，III, §4, No. 1，第 3 条的 Cor.3），从而 (i)。

如果 X 是仿紧的，则知道（GT，I, §9, No. 10，Th.5）X 是和的$(X_\lambda)_{\lambda \in L}$ 局部紧致空间，可在无穷大处计数；因此（命题1，(iii)），$\mathscr{K}(X; E)$是子空间$\mathscr{K}(X_\lambda; E)$（$\lambda \in L$）族的*拓扑直和*。凭借拓扑直和中有界集合的刻画（TVS，III, §1, No. 4，命题 5），$\mathscr{K}(X; E)$ 中的每个有界集合都包含在子空间的*有限* 数的和中$\mathscr{K}(X_\lambda; E)$，并且足以证明$\mathscr{K}(X_\lambda; E)$中的每个有界集合都包含在子空间$\mathscr{K}(X_\lambda, K_\lambda; E)$中，并且$K_\lambda$紧凑在$X_\lambda$中。因此，我们被简化为X在无穷大处可数的情况，在其他字是相对紧开的集合$U_n$的序列的并，使得$\overline{U}_n \subset U_{n+1}$（GT，I, §9, No. 9，命题15）。但$\mathscr{K}(X; E)$是空间$\mathscr{K}(X, \overline{U}_n; E)$、从而断言（ii）的序列的*严格*直极限（TVS，III, §1, No. 4，第6条）。

We shall say that a subset H of $\mathscr{K}(X; E)$ is strictly compact if it is compact and if there exists a compact subset K of X such that $H \subset \mathscr{K}(X, K; E)$. 从命题 2 可以立即得出，如果 X 是一个 paracompact 局部紧致空间并且如果 E 是 Hausdorff，那么 $\mathscr{K}(X; E)$ 中的每个紧集 都是 严格紧致。 可以给出局部紧致的例

3 Dénombrable à l'infini，也翻译为“σ-紧凑”（GT，I, §9, No. 9，Def.5）。

空间 $X$（不是仿紧致），使得 $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ 中存在集合，它们是*紧致但不是严格紧致*（习题 3 和 4）。

我们记得，根据阿斯科利的定理（GT，X, §2, No. 5，Th.2的Cor.3），$\mathscr{K}(X, K; E)$中包含的$\mathscr{K}(X; E)$的严格紧致子集$H$具有以下条件特征：$1^\circ$是封闭的； $2^\circ$ 等连续；对于每个$x \in K$，$3^\circ$，集合$H(x)$在$E$中相对紧凑。

根据命题 2, (ii)，对于注，对于 $X$ 的每个紧致子集 $K$，$\mathscr{K}(X, K; E)$ 是 $C(K; E)$ 的闭子空间，这是准完备的，因为每个有界子集 $C(K; E)$ 由函数在 $E$ 的同一边界子集中取值组成。

例如，令 $X'$ 为在无穷大 $\omega$ 处邻接 $X$ 点所获得的紧空间（GT，I, §9, No. 8，Th. 4）； 集合 $V_0 = X' - K$ 和 $V_k$ ($1 \leq k \leq n$) 形式 $X'$ 的开放覆盖物。令$(f_k)_{0 \leq k \leq n}$是单位元的连续划分，从属于$X'$的覆盖（GT，IX, §4, No. 3，命题3）； 函数$f_k$与指标$k \geq 1$满足条件共引理。

对于$K$边界的每一个$y$属于，对于所有$f \in \Phi$，都有$f(y) = 0$，因此$X$中存在$y$的开邻域$V_y$，这样，对于每个$z \in V_y$和每个$f \in \Phi$，都有一个$q(f(z)) \leq \varepsilon/2$。令$K'$为$K$的点的集合，而不是属于到任何$V_y$，因为$y$越过$K$的边界； $K'$结构紧凑，包含在$K$的内部。 集合 $\Phi$ 在 $K$ 中一致等连续；因此，在$K$包含的$X$中，存在$K'$由……组成的开集合的有限开覆盖$(U_j)_{1 \leq j \leq n}$，使得对于同一$U_j$的点$x, y$的每个对，有一个每 $f \in \Phi$ $q(f(x) - f(y)) \leq \varepsilon/2$。到引理 1，存在 $X$ 的 $n$ 连续映射 $\varphi_j$ 到 $[0, 1]$ ($1 \leq j \leq n$) 使得 $\operatorname{Supp}(\varphi_j) \subset U_j$ 并且使得

对于 $x_j \in \operatorname{Supp}(\varphi_j)$ ($1 \leq j \leq n$) 和 $f \in \Phi$，因此对于所有 $x \in U_j$，我们有， 如果 $x \notin U_j$ 从那时起 $\varphi_j(x) = 0$，则此关系仍然为真。根据加法，我们推断对于每个$x \in X$， 其中$\varphi_0 = 1 - \sum_{j=1}^n \varphi_j$； 从而 (1) 为$x \in K'$，从那时起$\varphi_0(x) = 0$； (1) 也适用于$x \notin K$，那么第一个成员就是零。最后，对于$x \in K - K'$，我们有$q(f(x)\varphi_0(x)) \leq \varepsilon/2$乘定义等于$K'$，因此在这种情况下，关系和(2)再次暗示(1)。

设$X$为局部紧致空间；对于每个 Banach 空间 $E$（实数或复数），我们用 $\mathscr{C}^b(X; E)$ 向量空间表示$X$ 的连续且有界映射到 $E$；我们知道$X$中一致收敛的拓扑与$\mathscr{C}^b(X; E)$的向量空间结构（实数，复数）相容的，并且它由范数定义

此外，如此定义的范数空间是Banach空间（GT、X, §3, No. 2和No. 1，Prop.2的Cor.2）；由这个$\mathscr{K}(X; E)$上的范数定义的拓扑（在$X$中一致收敛的其他字、拓扑）比No. 1中定义的$\mathscr{K}(X; E)$上的直极限拓扑更粗糙。

Th。 4)，E a Banach 空间。范数空间$C^b(X;E)$中$\mathscr{K}(X;E)$的闭包是X上连续函数的向量空间，其中值在E中并在点$\omega$趋于0。

令$\mathscr{K}(X;E)$闭包中的$f \in C^b(X;E)$为函数；对于每个$\varepsilon > 0$，都存在函数$g \in \mathscr{K}(X;E)$，使得$\|f(x) - g(x)\| \leq \varepsilon$对于所有$x \in X$；如果K是g的支持，则对于所有$x \in \mathbf{C}K$，$\|f(x)\| \leq \varepsilon$，因此$f(x)$趋于0，而$x$趋于$\omega$。相反，如果 f 有这个性质，那么对于每个 $\varepsilon > 0$，都存在紧集 $K \subset X$，这样对于所有 $x \in \mathbf{C}K$ 都有 $\|f(x)\| \leq \varepsilon$。到引理 1 时，存在 X 到 $[0,1]$ 的连续映射 h，具有紧支撑，等于 K 上的 1；然后$\|f(x)h(x)\| \leq \varepsilon$在$\mathbf{C}K$上，$f(x) = f(x)h(x)$在K上；由于$fh$具有紧凑的支持，并且$\|f(x) - f(x)h(x)\| \leq 2\varepsilon$对于所有$x \in X$，命题被证明。

我们用$C^b(X;E)$的$C^0(X;E)$子空间来表示，函数在$\omega$无穷大点处趋向于零；因此，这是规范的空间$\mathscr{K}(X;E)$的完成。

对于每一个紧集$K \subset X$，在K上都存在函数$h \in \mathscr{K}(X;\mathbf{R})$等于1，引理1；对于每个函数$f \in C(X;E)$函数$hf$，其中属于到$\mathscr{K}(X;E)$，都等于K上的f，从而我们的断言。

由于第二个断言是第一个明显的推论，因此足以证明后者。我们应用引理 2，并将$\Phi$减少为$\mathscr{K}(X,K;E)$的单个元素$f$；那么，对于每个 $x \in X$，

其中 $\varphi_j$ 属于至 $\mathscr{K}(X,K;\mathbf{R})$；由于映射 $x \mapsto \sum_{j=1}^n \varphi_j(x)f(x_j)$ 可以与元素 $\sum_{j=1}^n \varphi_j \otimes f(x_j)$ 进行规范地识别，这通过 $\mathscr{K}(X,K;E)$ 的拓扑定义证明了命题。

每函数 $f \in \mathscr{K}(X, K_\alpha; \mathbf{C})$。

条件显然是必要的，只要证明对于$X$的每个紧致子集$K$，(5)蕴涵(4)即可。现在，$K$被开集合$\overset{\circ}{K}_{\alpha_i}$（$1 \leq i \leq n$）的有限数覆盖； No. 2到$K$和$\overset{\circ}{K}_{\alpha_i}$中的应用引理 1，在$X$上存在连续的函数$g_i \geq 0$，使得$\operatorname{Supp}(g_i) \subset K_{\alpha_i}$，$0 \leq \sum_{i=1}^n g_i(x) \leq 1$对于所有$x \in X$ 和$\sum_{i=1}^n g_i(x) = 1$ 对应$x \in K$。因此，对于每个函数$f \in \mathscr{K}(X, K; \mathbf{C})$，我们可以写成$f = \sum_{i=1}^n f g_i$，我们有$f g_i \in \mathscr{K}(X, K_{\alpha_i}; \mathbf{C})$和$\| f g_i \| \leq \| f \|$；如果$M_K = \sum_{i=1}^n M_{\alpha_i}$，则我们有关系 (4)。

我们用 $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ 表示，或者如果不会造成混淆，则简单地用 $\mathscr{M}(X)$ 表示，$X$ 上的措施向量空间，在其他字中，表示$\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ 的*对偶*。

人们知道，对于$\mathscr{K}(X;\mathbf{C})$的*有界*子集的每个集合$\mathscr{S}$，在$\mathscr{M}(X;\mathbf{C})$上定义了$\mathscr{S}$拓扑，该拓扑是局部凸的（TVS，III, §3, No. 1，Prop.1的Cor.）。我们用$\mathscr{M}_{\mathscr{S}}(X;\mathbf{C})$或$\mathscr{M}_{\mathscr{S}}(X)$表示通过为$\mathscr{M}(X;\mathbf{C})$配备$\mathscr{S}$拓扑而获得的拓扑向量空间。

这是由于 $\mathscr{K}(X;\mathbf{C})$ 是桶装的（TVS、III, §4, No. 2、Th.1 的 Cor.4）。

例措施。 — I。 原子措施。令X为X的局部紧凑空间、$a$点；对于X 包含 $a$ 的每个紧凑子集 K，将$\mathscr{K}(X;\mathbf{C})$的映射$f\mapsto f(a)$转化为$\mathbf{C}$显然满足条件 (4) 和$M_K=1$，因此是X，记作$\varepsilon_a$；它被称为点$a$的*狄拉克测度*，或由放置在点$a$的*单位质量定义的测度。*

更一般地，令 $\alpha$ 为 X 的映射到 $\mathbf{C}$，这样，对于 X 的每个紧致子集 K，

然后，对于每个函数 $f\in\mathscr{K}(X,K;\mathbf{C})$，和 被定义为，等于 很明显，$\mu$ 是 $\mathscr{K}(X;\mathbf{C})$ 上的线性形式，并且对于 $f\in\mathscr{K}(X,K;\mathbf{C})$， 其他字条件 (4) 满足。

如果 X 的映射 $\alpha$ 存在于 $\mathbf{C}$ 中，则 X 上的$\mu$ 被称为“原子”，使得

对于X的每个紧凑子集 K，并且$\mu$等于上面定义的度量。如果 N 是 $x\in X$ 的集合，那么 $\alpha(x)\neq0$、条件强加于 $\alpha$ 意味着对于 X 的每个紧凑子集 K，$K\cap N$ 是*可数的*。还有人说 $\mu$ 是由位于点* $x\in N$ 的*质量* $\alpha(x)$ 定义的。如果假设对于每个紧集 $K\subset X$，$N\cap K$ 是有限的*，那么显然 说N是X的*封闭*和*离散*子空间是一样的，因为X的每个点都有一个紧邻域包含，只有N的点的有限数，反之，如果是这种情况，那么每个X的紧凑子集可以被有限的数这样的邻域覆盖。当 N 是封闭且离散的时，由函数 $\alpha$ 定义的每个原子测度，使得 $\mathbf C N$ 上的 $\alpha(x)=0$ 称为 X 上的离散测度（cf. §2, No. 5）。