习题 2, § 1

设 Y 为无穷大可数的非紧局部紧致空间，令 $(Y_n)$ 为 Y 的紧致子集的递增序列，形成 Y 的覆盖，并且使得 $Y_n \subset \overset{\circ}{Y}_{n+1}$ 对于所有 n，使得 Y 的每个紧致子集包含在 $Y_n$ 之一中（GT，I, §9, No. 9，第 15 号提案第 1 条）。令$\beta Y$为Y的Stone-Čech紧致化（GT，IX, §1，Exer.7），则空间$\mathscr{C}(\beta Y; \mathbf{R})$可以等同于Y上有界连续实值函数的空间，并且Y是$\beta Y$中的稠密开集合；对于每个函数$f \in \mathscr{C}(\beta Y; \mathbf{R})$，Supp(f)因此是$y \in Y$的集合在$\beta Y$中的闭包，使得$f(y) \neq 0$。回想一下，如果$Z_1, Z_2$是Y的两个子集，在Y和不相交的中闭合，那么它们在$\beta Y$中的闭合$\overline{Z}_1, \overline{Z}_2$也是不相交的（GT，IX, §4，Exer.17）。

令$\omega$为$\beta Y - Y$的点，并令$X = \beta Y - \{ \omega \}$。证明，在空间 $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$上，No. 1定义的直极限拓扑 $\mathscr{T}$与一致收敛的拓扑相同。 （如果 p 是对于 $\mathscr{T}$ 连续的半范数，则通过矛盾论证，证明存在数 $c > 0$，使得对于每个函数 $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ 存在 $p(f) \leq c \|f\|$。反之，则存在序列 $(f_n)$ $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$中的函数使得$\|f_n\| \leq 1 , \ p(f_n) \geq n , \ \mathrm{Supp}(f_n) \cap Y_n = \varnothing$，并且

$k < n$。则令$Z_i \ (i = 0, 1)$为集合$Y \cap \mathrm{Supp}(f_{2n+i})$之并；表明两个集合$Z_0, Z_1$之一在*X中相对紧凑（GT，X, §4，Exer.7），并由此推导出矛盾。） 由此推论，空间$\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$配备拓扑$\mathscr{T}$*不是准完备的*。