Exercice 2, § 1

Soit $Y$ un espace localement compact non compact, dénombrable à l’infini, et soit $(Y_n)$ une suite croissante de parties compactes de $Y$ formant un recouvrement de $Y$ et telle que $Y_n \subset \dot{Y}_{n+1}$ pour tout $n$, de sorte que toute partie compacte de $Y$ est contenue dans l’un des $Y_n$ (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 9, no 9, cor. 1 de la prop. 15). Soit $\beta Y$ le compactifié de Stone-Čech de $Y$ (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 1, exerc. 7), de sorte que l’espace $\mathscr{C}(\beta Y; \mathbf{R})$ s’identifie à l’espace des fonctions numériques bornées et continues dans $Y$, et que $Y$ est ouvert et dense dans $\beta Y$; pour toute fonction $f \in \mathscr{C}(\beta Y; \mathbf{R})$, $\operatorname{Supp}(f)$ est donc l’adhérence dans $\beta Y$ de l’ensemble des $y \in Y$ tels que $f(y) \neq 0$. On rappelle que si $Z_1, Z_2$ sont deux parties de $Y$, fermées dans $Y$ et sans point commun, alors leurs adhérences $\overline{Z}_1, \overline{Z}_2$ dans $\beta Y$ n’ont aucun point commun (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 4, exerc. 17).

Soit $\omega$ un point de $\beta Y - Y$, et soit $X = \beta Y - \{\omega\}$. Montrer que sur l’espace $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$, la topologie limite inductive $\mathscr{T}$ définie au no 1 est identique à la topologie de la convergence uniforme. (Si $p$ est une semi-norme continue pour $\mathscr{T}$, montrer, en raisonnant par l’absurde, qu’il existe un nombre $c > 0$ tel que $p(f) \leq c \|f\|$ pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{R})$. Dans le cas contraire, il existerait une suite $(f_n)$ de fonctions de $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ telle que $\|f_n\| \leq 1, p(f_n) \geq n, \operatorname{Supp}(f_n) \cap Y_n = \varnothing,$

pour $k < n$. Soit alors $Z_i \ (i = 0, 1)$ la réunion des ensembles

montrer que l’un des deux ensembles $Z_0, Z_1$ est relativement compact dans $X$ (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 4, exerc. 7), et en déduire une contradiction.)

En déduire que, muni de la topologie $\mathscr{T}$, l’espace $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ n’est pas quasi-complet.