Bài tập 2, § 1

Cho Y là một không gian compact địa phương không compact, đếm được tại vô cực và cho $(Y_n)$ là một dãy tăng các tập con compact của Y tạo thành một phủ của Y và sao cho $Y_n \subset \overset{\circ}{Y}_{n+1}$ với mọi n, do đó mọi tập con compact của Y đều được chứa trong một trong các $Y_n$ (GT, I, §9, No. 9, Hệ quả 1 của Mệnh đề 15). Cho $\beta Y$ là compact hóa Stone–Čech của Y (GT, IX, §1, Bài tập 7), sao cho không gian $\mathscr{C}(\beta Y; \mathbf{R})$ có thể được đồng nhất với không gian các hàm liên tục bị chặn nhận giá trị thực trên Y, và Y là một tập mở trù mật trong $\beta Y$; đối với mọi hàm $f \in \mathscr{C}(\beta Y; \mathbf{R})$, Supp(f) do đó là bao đóng trong $\beta Y$ của tập hợp các $y \in Y$ sao cho $f(y) \neq 0$. Nhắc lại rằng nếu $Z_1, Z_2$ là hai tập con của Y, đóng trong Y và rời nhau, thì các bao đóng $\overline{Z}_1, \overline{Z}_2$ của chúng trong $\beta Y$ cũng rời nhau (GT, IX, §4, Bài tập 17).

Cho $\omega$ là một điểm của $\beta Y - Y$ và cho $X = \beta Y - \{ \omega \}$. Hãy chứng minh rằng, trên không gian $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$, tôpô giới hạn trực tiếp $\mathscr{T}$ được định nghĩa trong No. 1 là đồng nhất với tôpô hội tụ đều. (Nếu p là một nửa chuẩn liên tục đối với $\mathscr{T}$, hãy chứng minh, bằng một lập luận phản chứng, rằng tồn tại một số $c > 0$ sao cho $p(f) \leq c \|f\|$ đối với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{R})$. Trong trường hợp ngược lại, sẽ tồn tại một dãy $(f_n)$ các hàm trong $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ sao cho $\|f_n\| \leq 1 , \ p(f_n) \geq n , \ \mathrm{Supp}(f_n) \cap Y_n = \varnothing$, và

với $k < n$. Khi đó cho $Z_i \ (i = 0, 1)$ là hợp của các tập hợp $Y \cap \mathrm{Supp}(f_{2n+i})$; hãy chứng minh rằng một trong hai tập hợp $Z_0, Z_1$ là tương đối compact trong X (GT, X, §4, Bài tập 7), và từ đó suy ra một mâu thuẫn.) Từ đó, suy ra rằng không gian $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ được trang bị tôpô $\mathscr{T}$ không đầy đủ giả.