处理T是紧致空间X的子空间的情况就足够了。令V为X的开子集，使得$V \cap T = U$；用$V'$表示X包含K中的开集合，使得$\overline{V'} \subset V$，用g表示X上的连续函数，以及I中的值（分别在$\mathbf{C}$中）在$X - V$上扩展f和零（GT，IX, §4, No. 1，提案1）。 条件 a) 通过取 $U' = V' \cap T$ 来满足，b) 通过将 $f'$ 取为 g 到 T 的限制来满足。

(1) $\mu^\bullet(f) = \sup_{g \in I_f} \mu^\bullet(g)$（分别为$\mu^\bullet(f) = \inf_{g \in S_f} \mu(g)$），

其中$I_f$（或$S_f$）表示有界连续函数$g$的集合，使得$0 \leq g \leq f$（或$g \geq f$）。

b) 令 $\theta$ 为 $T$ 上的复测度，$f$ 为$T$ 及下半连续上定义的数值函数 $\geq 0$。然后

(2) $|\theta|^\bullet(f) = \sup_g |\theta(g)|$,

其中 $g$ 超过有界且 $|\theta|$ 可积连续复形函数的集合，使得 $|g| \leq f$。

公式(1)的第一个是显而易见的，因为$I_f$是连续函数的递增有向集合，其上包络线是$f$，并且可以应用§1, No. 6的第5条命。同样的命题将意味着第二个公式，如果我们证明$S_f$包含是$\mu$可积有界连续函数。因而，令$K$为$f$的支持，$M$为$f$的上确界；由于 $K$ 是紧致的，$M$ 是有限的（GT、IV, §6, No. 2、Th. 3）。令 $U$ 为开集合包含 $K$ 且$\mu^\bullet(U) < +\infty$；存在(引理)一个连续的函数$g$，$[0, M]$内有值，等于$K$上的$M$，$U$外有零；然后是$g \in S_f$和$\mu^\bullet(g) \leq M \mu^\bullet(U) < +\infty$。

让我们转到b)。显然足以证明$|\theta|^\bullet(f) \leq \sup_g |\theta(g)|$。

令$a$和$b$是两个实数，使得$a < b < |\theta|^\bullet(f)$。由(1)，存在函数$h \in \mathscr{C}_+^b(T)$使得$h \leq f$和$|\theta|^\bullet(h) > b$；用$M$表示$h$的上界。通过$|\theta|^\bullet$的定义（§1, No. 2，定义4），存在$T$的紧子集$K$，使得$|\theta|_K^\bullet(h_K) > b$。那么在$K$上存在一个连续复形函数$j$，使得$|j| \leq h_K$和$|\theta_K(j)| > b$（第III, §1, No. 6）。让我们选择一个开集合$U$包含$K$，这样$|\theta|^\bullet(U - K) \leq \frac{b - a}{M}$（§1, No. 9，提案13和14）； 扩展 $j$ 到 $T$ 上的连续复合体函数 $k$，$U$ 外部零 (引理)；每$t \in T$、集合

(3)

显然$|g| \leq h \leq f$，$g = j$在$K$上，因而$||\theta_K(j)| - |\theta(g)|| = ||\theta(j^0)| - |\theta(g)|| \leq |\theta|^\bullet(|j^0 - g|) \leq M \cdot |\theta|^\bullet(U - K) \leq b - a$，因而$|\theta(g)| > a$。另一方面，让我们证明 $g$ 是连续的函数：

由于$a$受制于唯一的条件$a < |\theta|^*(f)$，这意味着(2)的第二个成员是$\geqslant$第一个，从而命题。现在，令 F（分别为 $F'$）为 $t \in T$ 的集合，使得 $|k(t)| \leq h(t)$（分别为 $|k(t)| \geq h(t)$）。这些集合是封闭的，并且它们的并是T，足以证明$g_F$和$g_{F'}$是连续的：现在，这个性质对于$g_F = k_F$来说是明显的，对于$g_{F'}$在点处也是如此，其中$k(t) \neq 0$；另一方面，如果$t \in F'$满足$k(t) = 0$，则$h(t) = 0$和不等式$|g| \leq h$意味着$g$在点$t$连续。

让我们在设定 $\theta = \eta - \eta'$ 上再次讨论命题 1 的第二个部分的证明。 我们可以要求开集合 U 对于$|\eta|$ 和$|\eta'|$ 可积。 The function $g$ is then integrable for these two measures, and the relation $\theta(g) = 0$ implies $a < 0$; therefore $|\theta|^*(f) = 0$ for every positive lower semi-continuous function $f$, whence finally $|\theta| = 0$, on taking $f = +\infty$.

根据§1, No. 10的第15条命题，足以证明，如果K在T中是紧的，并且如果$g$是扩张到T，$\mathscr{C}_+(K)$中函数的0在0和1之间，则存在函数$f \in \mathscr{C}_+^b(T)$，其支持包含在$\mu$-可积开集合，使得$\|f - g\|_p$任意小。现在，令 $\varepsilon$ 为数 $> 0$，U 为 K 的开邻域，使得 $\mu^*(U - K) < \varepsilon$，V 为 K 的开邻域，使得 $\overline{V} \subset U$，以及 $f$ 函数，其中值在 $[0, 1]$ 中，连续，等于K 上的 $g$ 以及 V (引理) 之外的 0。 函数 $|f - g|^p$ 则以 $\varphi_{U-K}$ 为界；因此$\|f - g\|_p \leq \varepsilon^{1/p}$，从而建立命题。

注 3). — 在 Banach 空间 F 中，函数与值存在类似的叙述：子空间 $\mathscr{H} \otimes F$ $\mathscr{C}^b(T; F)$ 在 $\mathscr{L}_F^p(\mu)$ 中稠密。

必要性是显而易见的。为了确定充分性，让我们在取 $p = 1$ 和 $\mu = |\theta|$ 的基础上，再次取前面命题的证明； 记号相同，关系$\mu^*(|f - g|) \leq \varepsilon$和不等式$\theta(f) \geq 0$意味着$\theta_K(g_K) = \theta(g) \geq -\varepsilon$；由于$g_K$是$\mathscr{C}(K)$在0和1之间的任意元素，因此测度$\theta_K$为正； 紧集 K 是任意的，这意味着 $\theta$ 是正数。

(M) *对于每个数 $\varepsilon > 0$，都存在 T 的紧凑子集 K，使得关系 $g \in \mathscr{C}^b(T; \mathbf{C}), |g| \leq 1, g_K = 0$ 隐含 $|I(g)| \leq \varepsilon$。

那么度量 $\theta$ 是唯一的。*

唯一性源自No. 1的第2条命题。让我们证明条件 (M) 是必要的。令 $\theta$ 为有界复数测度；令 K 为紧集，使得 $|\theta|^*(T - K) \leq \varepsilon$ (§ 1, No. 2, 注 3)。假设$|g| \leq 1, g_K = 0$意味着$|g| \leq \varphi_{\mathbf{C}_K}$，因此$|\theta(g)| \leq |\theta|^*(\varphi_{\mathbf{C}_K}) \leq \varepsilon$。

让我们讨论充分性的证明。令 X 为 T 的 Stone–Čech 紧致化（GT，IX, § 1，Exer.7；或 TG，IX, § 1, No. 6）。对于每个函数 $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{C})$，集合 $\nu(f) = I(f_T)$；我们以这种方式定义在$\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$上连续线性形式，即紧凑空间X上的复杂测度。设$\varepsilon$为数$> 0$，K紧集满足（M）； 函数$\varphi_{\mathbf{C}_K}$在X、公式(2)上是下半连续且正的，给出以下关系，其中$\mathscr{G}$表示函数$g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{C})$的集合，使得$|g| \leq \varphi_{\mathbf{C}_K}$：

令$(K_n)_{n \geq 1}$为T的紧凑子集的序列，使得每个$K_n$对于$\varepsilon = 1/n$满足(M)，并令$S = \bigcup K_n$； S 是 X 中的 Borel 集合，包含在 T 中，并且对于所有 n 而言为 $|\nu|^*(X - T) \leq |\nu|^*(X - S) \leq |\nu|^*(X - K_n) \leq 1/n$，因此 T 是 $\nu$ 可测的，$\nu$ 集中在 T 上。令 $f$ 为 T 上的有界连续函数；由于 X 是 T 的 Stone-Čech 紧化，因此 $f$ 可以通过连续性扩展到函数 $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{C})$。现在令$\mu$为$\nu$在$T$上引起的测度；一个有 $\mu(f) = \nu(f^0)$。 (1) 由于$\nu$集中于$T$，函数、$f^0$和$g$几乎处处都相等$\nu$，因此$\mu(f) = \nu(g) = I(g_T) = I(f)$，它完成了证明。

a) 设f为T上定义的下半连续数值函数$\geqslant 0$；那么函数$\mu \mapsto |\mu|^*(f)$在$\mathscr{M}^b(T)$上是下半连续的。

b) 设 f 为 T 上定义的上半连续有界函数；那么函数$\mu \mapsto \mu(f)$是$\mathscr{M}_+^b(T)$上的上半连续。

因为，根据No. 1的命题1 b)可以看出，$\mu \mapsto |\mu|^*(f)$是形式$\mu \mapsto |\mu(g)|$和$g \in \mathscr{C}^b(T)$的函数族的上层信封，因此对于紧的拓扑是连续的。这就建立了a)。为了证明b)，只要选择为f的常数上界C，并写成$\mu(f) = \mu(C) - \mu(C - f)$即可；由上可知，函数$\mu \mapsto \mu(C)$是连续的，函数$\mu \mapsto \mu(C - f)$是$\mathscr{M}_+^b(T)$上的下半连续。

对于每个 $t \in T$、集合 $f'(t) = \liminf_{s \to t} f(s)$、$f''(t) = \limsup_{s \to t} f(s)$。显然 $f' \leqslant f \leqslant f''$，在 T 的每点处有等式，其中 f 是连续的（因而 $\mu$ - 几乎无处不在）。另一方面，$f'$是下半连续，$f''$是上半连续且有界（GT，IV, §6, No. 2，命题4）。因而，根据第 6 条命题，我们得到以下关系，

结论乘注意到即$\mu^*(f') = \mu^*(f'')$，因为$f'$和$f''$在局部$\mu$几乎处处相等。

我们再次将$\mathscr{M}_+^b(T)$的i映射$\mu \mapsto i(\mu)$表示为$\mathscr{M}_+^b(X)$； i 是单射（§2, No. 4，命题 8）和映射 $\mathscr{M}_+^b(T)$ 到 W（§2, No. 3，命题 7）。如果$\lambda \in W$，则$\lambda = i(\lambda_T)$（§2, No. 3，提案 7 b））。因而，i 是 W 上 $\mathscr{M}_+^b(T)$ 的双射，i 的逆双射是 $W$ 上的映射 $r : \lambda \mapsto \lambda_T$。另一方面，$i$是连续的：对于，如果$f \in \mathscr{C}^b(X)$，则$\langle i(\mu), f \rangle = \langle \mu, f \circ i \rangle$，$f \circ i$属于到$\mathscr{C}^b(T)$。因而，一切都归结为，对于每一个度量 $\mu \in W$ 和每一个函数 $f \in \mathscr{C}^b_+(T)$，一个人有

或再次

Let $f^\infty$ be the function on $X$ that coincides with $f$ on $T$ and with $+\infty$ on $X - T$, and let $f'$ and $f''$ be, respectively, the upper semi-continuous regularization of $f^0$ and the lower semi-continuous regularization of $f^\infty$ (GT, IV, §6, No. 2). The relations

立即暗示$f'$和$f''$都是重合，$f$和$f^0$在$T$上。命题 6 则得出

但是在这两个公式中可以通过$f^0$来替换$f'$和$f''$，因为$\lambda$和$\mu$是由$T$承载的；这样我们就得到了想要的关系。

命题 8 的叙述仅对正测度有效：$\mathscr{M}^b(T)$到$\mathscr{M}^b(X)$的映射$\mu \mapsto i(\mu)$是单射且连续的，但通常不是$\mathscr{M}^b(T)$与其像的同胚。对于例，取$X = \mathbf{R}$、$T = \mathbf{R} - \{0\}$； $\lambda_t = \varepsilon_t - \varepsilon_{-t}$ ($t > 0$) 在 $X$ 中紧密收敛于 0，因为 $t$ 趋向于 0，但在 $T$ 中并不紧密收敛于 0（$]0, +\infty[$ 属于到 $\mathscr{C}^b(T)$ 的特征函数）（但是cf. No. 5 的 Cor。

条件显然是必要的。为了证明它是充分的，让我们用$X$表示$T$（GT，I, §9, No. 8）的Alexandroff紧缩，并用$i$典范嵌入将$T$表示为$X$。根据第 8 条命题，一切都可以归结为，在 $\mathscr{M}^b(X)$ 中，$\lambda \mapsto i(\lambda)$ 相对于 $\mathfrak{F}$ 紧密收敛于 $i(\mu)$。从$\mu(1) < +\infty$开始，存在集合$A \in \mathfrak{F}$，使得$A$中的测度总质量以数$M$为界；因此只需验证

函数 $g \in \mathscr{C}^b(X)$ 在 $\mathscr{C}^b(X)$ 中形成总计集合。现在，当$g$在$T$中具有紧凑支持时，由于$\mathfrak{F}$到$\mu$的模糊收敛，并且当$g$是$X$上的常量函数时，由于$\lim_{\lambda, \mathfrak{F}} \lambda(1) = \mu(1)$这一事实，等式就得到满足。由于前两个型形式中的函数在$\mathscr{C}^b(X)$中总计集合（第III, §1, No. 2，第3条），这完成了证明。

我们首先处理 $T$ 是波兰语且*紧凑*的情况。具有质量 $\leq 1$ 的正测度的集合 $U$ 是紧致的（第 III, §1, No. 9 章，第 15 条命题第 2 条），并且拓扑在 $U$ 上由紧的拓扑 （这里是重合和模糊的拓扑）诱发，是也由 $\mathscr{C}(T)$ 的总子集上的拓扑逐点收敛引起（*loc.cit.*，No. 10，提案 17）。现在，$\mathscr{C}(T)$中存在可数总数集合（GT，X, §3, No. 3，Th.1）；因而，$U$是可度量的紧致空间。质量$< 1$的正测量的集合$V$在$U$中开放，因此是波兰局部紧凑空间。现在，$\mathscr{M}_+^b(T)$到$V$的映射$\mu \mapsto \frac{1}{1 + \mu(1)} \mu$是同胚，映射$\lambda \mapsto \frac{1}{1 - \lambda(1)} \lambda$是逆同胚。

让我们讨论 $T$ 是波兰语的情况；我们可以假设$T$是可度量紧凑空间$X$中开集合的递减序列$(G_n)$的交（GT，IX, §6, No. 1，Th.1的Cor.1）；那么，空间$\mathscr{M}_+^b(T)$同构于$\mathscr{M}_+^b(X)$由……组成的$T$措施中的子空间$W$（No. 3，第8条），并且足以证明$W$是交波兰语空间 $\mathscr{M}_+^b(X)$ 的开放集合的序列（GT，*loc.cit.*，Th.1）。 现在，令 $W_n$ 为集合，集中在$G_n$的措施$\mu \in \mathscr{M}_+^b(X)$； $\mathscr{M}_+^b(X)$上的映射$h_n : \mu \mapsto \mu^*(X - G_n)$是上半连续（No. 3，命题6），并且测度$\mu \in \mathscr{M}_+^b(X)$的集合$A_k^n$使得$h_n(\mu) < 1/k$因此对每个$k \geq 1$和每个$n \in \mathbf{N}$开放。 证明由注意到完成$W = \bigcap_n W_n = \bigcap_{n,k} A_k^n$。

对于定义 T 的拓扑的度量，令 $\hat{T}$ 为 T 的完成； 空间 $\hat{T}$ 是波兰语，$\mathscr{M}_+^b(T)$ 与波兰语空间 $\mathscr{M}_+^b(\hat{T})$ 由……组成的子空间同构，集中于 T 的措施（No. 3，第 8 条）。 但是波兰语空间的每个子空间都可度量可数型 (GT, IX, §2, No. 8)。

例如，考虑波兰空间 P 和 P 到 T 上的连续映射 $f$（GT，IX, §6, No. 2，Def. 2）。设$\tilde{f}$为$\mathscr{M}_+^b(P)$到$\mathscr{M}_+^b(T)$的连续映射$\mu \mapsto f(\mu)$； 空间 $\mathscr{M}_+^b(P)$ 是根据第 10 条命题的波兰式，$\tilde{f}$ 是满射（§2, No. 4，第 9 条命题）；因此，空间 $\mathscr{M}_+^b(T)$ 是苏斯林。类似地，如果 T 是 Lusin，则 $f$ 可以假定为单射（GT，*loc.cit.*，No. 4，Prop. 12）；那么 $\tilde{f}$ 是单射（§2, No. 4，第 8 条命题），因此 $\mathscr{M}_+^b(T)$ 是 Lusin（GT，*loc.cit.*，No. 4，第 12 条命题）。

令 T 为完全正则 Souslin 空间（回想一下，T 为 Souslin 且*正则*（TG，App. 1，Cor. of Prop. 2）就足够了），并令 H 为 $\mathscr{M}_+^b(T)$ 的紧致子集；那么 H 是紧致的且是 Souslin 的，因此 可度量化，对于紧拓扑 (loc. cit., App. 1, Cor. 2 of Prop. 3)。

因为，根据No. 3的第6条命题，函数、$\mu \mapsto |\mu|^*(1)$、$\mu \mapsto |\mu|^*(T - K_\varepsilon)$在$\mathscr{M}^b(T)$上是下半连续的。

普罗霍罗夫的条件的兴趣来自于下面的定理，其逆命题将在稍后（Th.2）进行研究。

我们可以假设 T 是紧致空间 X 的子空间；令 i 为 T 的典范嵌入变为 X。另一方面，根据命题 11，我们可以假设 H 在 $\mathscr{M}^b(T)$ 中*闭合*。那么就足以证明 H 上的每个超滤器 $\mathfrak{U}$ 都收敛于 $\mathscr{M}^b(T)$。

我们将从$H \subset \mathscr{M}_+^b(T)$的情况开始。以假设、$i(\mu)$为界的测度$\mu \in H$的总质量相对于$\mathfrak{U}$模糊地收敛于$\mathscr{M}_+(X)$，测度$\nu \in \mathscr{M}_+(X)$（第III, §1, No. 9章，第15条命题第2条）；根据No. 3的第8条，一切都归结为证明，$\nu$集中在T上。现在，令$\varepsilon$为数$> 0$，并让$K_\varepsilon$为T满足的紧凑子集公式 (6)。由于$X - K_\varepsilon$在X中开放，根据No. 3的第6条命题应用于X，我们有不等式

由于$\varepsilon > 0$是任意的，因此在这种特殊情况下定理成立。

让我们转向一般情况；对于 T 上的每个测量$\mu$，集合

从 $\mu = a_1(\mu) - a_2(\mu) + ia_3(\mu) - ia_4(\mu)$ 开始，只需证明映射 $a_j$ ($j = 1, 2, 3, 4$) 相对于 $\mathfrak{U}$ 紧密收敛。但措施$a_j(\mu)$的集合$H_j$，其中$\mu$超过H，凭借关系$|a_j(\mu)| \leq |\mu|$满足普罗霍罗夫的条件，并且包含在$\mathscr{M}_+^b(T)$中；因此，在特殊情况下，$\mathscr{M}_+^b(T)$相对紧凑，然后定理紧随其后。

处理 H 是闭合的情况（命题 11）就足够了，因此是紧凑的；结论是根据 $\mu \mapsto i(\mu)$ 是连续且单射的这一事实得出的。

回想一下，这个结果对于 $\mathscr{M}_+^b(T)$ 的任意子集也有效（No. 3，命题 8）。

我们可以将自己限制在 H 是封闭的、因此是紧凑的情况。措施$\mu \in H$的总质量显然是有界的，因为映射$\mu \mapsto \mu(1)$是连续的，一切都归结为Def的证明断言b)。 2.

首先假设 T 是局部紧的。令$\varepsilon$为数 > 0。让我们将T中的每个测度$\mu \in H$紧集$K_\mu$关联起来，使得$\mu^\bullet(T - K_\varepsilon) < \varepsilon$，然后是$K_\mu$的相对紧凑的开放邻域$U_\mu$。 函数$\lambda \mapsto \lambda^\bullet(T - U_\mu)$在$\mathscr{M}_+^b(T)$（No. 3，命题6）、集合$V^\mu$上是$\lambda \in H$测度的上半连续，使得$\lambda^\bullet(T - U_\mu) < \varepsilon$是H中$\mu$的邻域。因此存在有限子集 H 的 $H'$ 使得集合 $V^\mu$ ($\mu \in H'$) 覆盖 H。用 K 紧集 $\bigcup_{\mu \in H'} \overline{U}_\mu$ 表示，对于所有 $\lambda \in H$，我们有 $\lambda^\bullet(T - K) < \varepsilon$。

接下来假设 T 是波兰语。我们不通过假设T是紧致空间X的开子集的递减序列$(T_p)_{p \geq 1}$的交来限制一般性（GT，IX, §6, No. 1，Th.1的Cor.1）。令$i_p$为$T_p$中T的单射，并令$H_p$为$\lambda \in H$的形式$i_p(\lambda)$度量的集合；由于 $H_p$ 在 $\mathscr{M}_+^b(T_p)$ 中是紧致的，因此存在紧集 $K_p \subset T_p$，使得对于每个测度 $\nu \in H_p$ 都有 $\nu^\bullet(T_p - K_p) \leq \varepsilon 2^{-p}$，通过将前面的结果应用于局部紧致空间 $T_p$。因此对于每一个小节$\lambda \in H$也是$\nu^\bullet(T - (T \cap K_p)) \leq \varepsilon 2^{-p}$，最后是$\lambda^\bullet(T - (T \cap K_p)) \leq \varepsilon 2^{-p}$。现在集合$K = \bigcap_p K_p$； 集合 K 是紧致的并且包含在 T 中，并且对于每个度量 $\lambda \in H$，我们有 $\lambda^\bullet(T - K) \leq \sum_p \lambda^\bullet(T - (T \cap K_p)) \leq \sum_p \varepsilon 2^{-p} = \varepsilon$。普罗霍罗夫的条件由此得到验证。

让我们证明叙述中的条件是必要的。令 $\theta$ 为 T 上的有界复测度，$\varepsilon$ 数 $> 0$，K 为 T 的紧凑子集，使得 $|\theta|^*(T - K) < \varepsilon$。设 $f \in B$；我们用U表示紧收敛的拓扑在B中$f$的邻域，由函数$g \in B$形成，使得$\sup_{x \in K} |g(x) - f(x)| \leq \varepsilon$。然后，对于每个 $g \in U$，

因为 $|g - f|$ 在 K 上以 $\varepsilon$ 为界，在 $T - K$ 上以 2 为界。

相反，考虑$\mathscr{C}^b(T; \mathbf{C})$上的线性形式I，其限制到B对于紧致收敛的拓扑是连续的。那么，对于每个数$\varepsilon > 0$，都存在数$a > 0$和T的紧凑子集K，使得关系$f \in B, \sup_{x \in K} |f(x)| \leq a$隐含$|I(f)| \leq \varepsilon$。 No. 2 的命题 5 意味着存在一个唯一的有界复数测度$\theta$，使得$I(f) = \theta(f)$ 对于所有$f \in \mathscr{C}^b(T; \mathbf{C})$。