例如，令 $F'$ 为 $F$ 的对偶，并令 $\langle z, a' \rangle \leqslant \alpha$ ($a' \in F', \alpha \in \mathbf{R}$) 为关系，定义闭半空间包含 $D$。由于 $fg$ 是可积的，因此数值函数 $\langle fg, a' \rangle = \langle f, a' \rangle g$ 也是可积的，并且

（§ 4, No. 2，第 1 章第 1 条）；但是，通过假设，$\langle f(x), a' \rangle \leqslant \alpha$对于所有$x \in X$，因此$\langle f(x)g(x), a' \rangle \leqslant \alpha g(x)$；在整合方面，我们有

这证明了点$\frac{\int fg\, d\mu}{\int g\, d\mu}$属于对于每个闭半空间包含$D$；但是，根据 Hahn-Banach 定理，$D$ 是闭半空间包含的交（TVS，II, §5, No. 3，第 4 条命题 1），从而定理。

$g$取常数函数1就足够了。

此外，*不等式(3)不能的三个成员中的两个等于除非，在$x \in X$的集合中，使得$g(x) \neq 0$，f几乎处处等于$M_\infty(f)$或几乎处处等于$m_\infty(f)$*。

事实上，$fg$是可测量的（§ 5, No. 3，Th.1的Cor.5）；此外，不等式$m_\infty(f)g(x) \leqslant f(x)g(x) \leqslant M_\infty(f)g(x)$不仅在局部几乎所有地方都成立，甚至几乎在所有地方都成立，因为点$x \in X$的集合其中$g(x) \neq 0$是可积集合的可数并（§ 5, No. 6， 引理1)。由此可知 $fg$ 可积（§ 5, No. 6，Th. 5）且不等式 (3) 成立。另一方面，函数$M_\infty(f)g - fg$几乎到处都有定义并且等于$(M_\infty(f) - f)g$；因此，$\geqslant 0$几乎在$X$中无处不在；由于关系$M_\infty(f) \int g d|\mu| = \int fg d|\mu|$等价于$\int (M_\infty(f) - f)g d|\mu| = 0$，因此只有当函数$(M_\infty(f) - f)g$可以忽略不计时，它才能成立，从而完成证明。

设定撇开$\int g d|\mu| = 0$、不等式 (3) 可以从Th 推导出来的小情况不谈。 No. 1 中的 1 应用于区间 $D = [m_\infty(f), M_\infty(f)]$。一个人可以把Th. No. 1 中的第 1 条类似于命题 1 的补码，指定点 $(\int fg d\mu)/(\int g d\mu)$ 属于到 D 边界的情况（例 2）。

例如，令$(f_n)$为$\mathscr{L}_F^\infty$中的柯西序列；对于每个整数$n$，都存在整数$k_n$，使得$N_\infty(f_r - f_s) \leq 1/n$对于$r \geq k_n$和$s \geq k_n$；因此，存在局部可忽略的集合$A_{rs}$，使得$|f_r(x) - f_s(x)| \leq 1/n$对于所有$x \notin A_{rs}$。如果$A_n$是集合$A_{rs}$的并（对于$r \geq k_n$和$s \geq k_n$），则$A_n$局部可忽略不计，并且对于每个$x \notin A_n$，$|f_r(x) - f_s(x)| \leq 1/n$对于所有指标 $r \geq k_n, s \geq k_n$。令$A$为$A_n$的并形成的局部可忽略的集合，$x \notin A$为集合$g_n(x) = f_n(x)$，$x \in A$为$g_n(x) = 0$；然后$g_n$属于到$\mathscr{L}_F^\infty$，并且通过$A$的定义，序列$(g_n)$*均匀地*在$X$收敛到函数$g$。由此可见函数 $g$ 是可测的（§ 5, No. 4，Th.2）；此外，$g$以$x \in X$的集合为界，其中$|g_{k_1}(x)| \leq N_\infty(g_{k_1})$，并且由于该集合的补集局部可忽略不计，$g$属于到$\mathscr{L}_F^\infty$。很明显，在$\mathscr{L}_F^\infty$中，序列$(g_n)$有极限$g$，因此序列$(f_n)$也是如此，因为$N_\infty(f_n - g_n) = 0$对于所有$n$都是如此。由此可以立即推导出命题的第二个部分。

Let $f_1$ (resp. $g_1$) be a function in $L^p$ (resp. $L^q$) to which $f$ (resp. $g$) is equal almost everywhere; $fg$ is equal almost everywhere to the function $f_1 g_1$, which is everywhere defined and finite, and which is measurable, being the product of two measurable functions (§ 5, No. 3, Cor. 5 of Th. 1). 如果 $1 < p < +\infty$，则 Hölder 的不等式用于上积分（第 1 章） I, No. 3, 命题 4) 产生不等式 (4), 关系 $N_1(fg) < +\infty$ 然后表明 $fg$ 是可积的 (§ 5, No. 6, Th. 5)。 如果 $p = 1$、$q = +\infty$、不等式 (4) 且$fg$ 可积，则为不等式的平均值的直接的推论（No. 2，命题 1）；因此定理在所有情况下都得到证明。

对于，$\Phi(f, g)$是可测量的（§ 5, No. 3，Th.1的Cor.5）；从 $|\Phi(f, g)| \leq |f| \cdot |g|$ 开始，推论由 Th 得出。 2 和 § 5, No. 6, Th 的可积准则。 5.

Cor 的两个特殊情况。 1 在应用中很重要：

对于，$|\langle z, z' \rangle| \leq |z| \cdot |z'|$。

当$F$是实数或复数希尔伯特空间时，我们知道它可以用它的对偶$F'$（TVS，V, § 1, No. 7）规范地识别。由于空间 $L_F^2$ 已完成，我们得到以下结果：

定义希尔伯特空间结构，其中范数等于 $\| \widetilde{f} \|_2$。

因为，乘积$f_1^{\alpha_1} f_2^{\alpha_2} \cdots f_n^{\alpha_n}$是可测量的，是可测量的函数（§ 5, No. 3，Th.1及其Cor.5）的乘积；由于不等式 (8) 对于上积分成立（I、No. 2，命题 2 的修正），函数 $f_1^{\alpha_1} f_2^{\alpha_2} \cdots f_n^{\alpha_n}$ 是可积的（§ 5, No. 6，Th.5），从而是推论。

科。 2 Th。 2 通过以下命题进行锐化：

1° 对于每函数 $f \in \mathscr{L}_F^p$ ($1 \leq p \leq +\infty$)，

因为 g 在 $\mathscr{L}_{F'}^q$ 中运行超过函数的集合，因此$N_q(g) \leq 1$。

2° 对于每函数 $g \in \mathscr{L}_{F'}^q$ ($1 \leq q \leq +\infty$)，

因为 f 在 $\mathscr{L}_F^p$ 中运行超过函数的集合，从而得到 $N_p(f) \leq 1$。

我们先证明关系(9)；我们区分两种情况。

（一）$1 \leq p < +\infty$。当 $N_p(f) = 0$ 时，关系 (9) 是微不足道的（因为 f 和 $\langle f, g \rangle$ 可以忽略不计），我们总是可以假设，在将 f 乘以标量时，$N_p(f) = 1$。首先假设 f 是可积步骤函数，$f = \sum_{k=1}^n a_k \varphi_{A_k}$，其中$A_k$是成对的不相交的（§ 4, No. 9，引理）。因此$\sum_{k=1}^n |a_k|^p \mu(A_k) = 1$乘假设。对于每个$\varepsilon > 0$，存在（对于每个指标 k）向量$a'_k \in F'$，使得$|a'_k|^q = |a_k|^p$如果$p > 1$（或$|a'_k| = 1$如果$p = 1$）和$\langle a_k, a'_k \rangle \geq (1 - \varepsilon)|a_k| \cdot |a'_k|$（TVS，IV,

§1, No. 3，提案 8）。 设定 $g = \sum_{k=1}^n a_k' \varphi_{A_k}$，如果$p > 1$，我们有$\sum_{k=1}^n |a_k'|^q \mu(A_k) = 1$（如果$p = 1$，则有$\sup_{1 \leq k \leq n} |a_k'| = 1$），因此$N_q(g) = 1$；另一方面，

并且，由于 $|a_k'| = |a_k|^{p/q} = |a_k|^{p-1}$ if $p > 1$ （或 $|a_k'| = 1$ if $p = 1$），我们有

在这种情况下证明了关系 (9)。

让我们讨论$f$是$\mathscr{L}_F^p$中的任意元素使得$N_p(f) = 1$。对于每个$\varepsilon > 0$，都存在一个步骤函数$f_1 \in \mathscr{L}_F^p$，使得$N_p(f - f_1) \leq \varepsilon$（§ 4, No. 10，第19号提案的Cor.1）。根据我们刚才看到的，存在函数 $g \in \mathscr{L}_F^q$，使得 $N_q(g) = 1$ 和

现在，

并且，通过(6)，

从而

这就证明了(9)。

(ii) $p = +\infty$。我们可以再次将自己限制在$N_\infty(f) > 0$的情况。令$\alpha$为任意数，使得$0 < \alpha < N_\infty(f)$；通过 $x \in X$ 的假设、集合，使得 $|f(x)| > \alpha$ 是可测量的且不可局部忽略，因此它是测量 $> 0$ 的包含紧集 $K$。由于$f$是可测的，因此存在测度$> 0$的紧集$K_1 \subset K$，使得$f$到$K_1$的限制是连续的。由此可见，对于每个$\varepsilon > 0$，在可积集合的有限数中存在$K_1$的划分，其中每个$f$的振荡为$\leq \varepsilon$； 集合 $A$ 中至少一个的度量 > 0。令 $a$ 为 $A$ 中 $f$ 的值之一；然后 $|a| > \alpha$ 和 $|f(x) - a| \leq \varepsilon$ 对于所有 $x \in A$。存在向量$a' \in F'$使得$|a'| = 1$和$|\langle a, a' \rangle| \geq |a| - \varepsilon$； 函数 $g = \varphi_A \cdot a'/\mu(A)$ 可积且 $N_1(g) = 1$；另一方面，

现在，人们可以写

自从

我们看到

由于$\varepsilon$是任意的并且$\alpha$是任何数<$N_\infty(f)$，因此在这种情况下关系(9)也得到验证。

人们以完全相同的方式证明关系（10），分别考虑情况$1 \leq q < +\infty$和情况$q = +\infty$，并使用这样的事实：对于每个$z' \in F'$，$|z'| = \sup_{|z| \leq 1} |\langle z, z' \rangle|$乘以$F'$中范数的定义。

我们已经知道（I，No. 3，命题 5）*有限* 数 $p \geq 1$ 的集合 $J$，使得 $N_p(f) < +\infty$ 要么是空的，要么是一个区间，并且 $\log N_p(f)$ 是一个凸函数 $1/p$ on $J$（当$f$不可忽略时）；这当然意味着$p \mapsto N_p(f)$在$J$上的连续性。

如果$J$为空，则$I = \varnothing$或$I = \{+\infty\}$，并且命题在这种情况下是显而易见的；假设从此以后$J$是非空。如果 $f$ 可以忽略不计，命题也是明显的；假设从此以后 $f$ 不可忽略。如果 $s \in J$ 那么，对于每个有限的数 $p > s$、$|f|^p = |f|^s |f|^{p-s}$ 和不等式均值表明

令$p$趋于$+\infty$，则有：

这就证明了如果$+\infty \in I$则$J$包含任意大数；因此$I$确实是$\overline{\mathbf{R}}$和$\overline{I} = \overline{J}$的区间。如果我们证明$p \mapsto N_p(f)$在$\overline{J}$上连续，并且足以在$J$的端点建立连续性，则命题得到证明。此外，我们可以假设$J$不约化到点。设$r$和$s$为$J$($r < s \leq +\infty$)的左右端点。令$A$为$x \in X$的（可测量）集合，使得$|f(x)| \geq 1$；然后

由于$p \in J$趋向于$r$，$|f|^p \varphi_A$趋向于$|f|^r \varphi_A$，而递减，以及$|f|^p \varphi_{C_A}$趋向于$|f|^r \varphi_{C_A}$，而递增。因此$\int |f|^p \varphi_{C_A} d|\mu|$趋向于$\int^* |f|^r \varphi_{C_A} d|\mu|$（§ 1, No. 3，Th.3）。另一方面，$|f|^p \varphi_A$对于$p \in J$可积，$\int |f|^p \varphi_A d|\mu|$趋于$\int |f|^r \varphi_A d|\mu|$（§ 4, No. 3，命题4）。因此$\int |f|^p d|\mu|$趋于$\int^* |f|^r d|\mu|$，这就证明了$p \mapsto N_p(f)$在$r$的连续性。

如果$s < +\infty$，则可以在点、$s$应用相同的推理。最后，假设$s = +\infty$。由式（13）可知，

现在，令$a$为数，使得$0 < a < N_\infty(f)$。因为，到假设，存在$p$的有限值，使得$N_p(f) < +\infty$、$x \in X$的集合$A$，使得可测量且不可忽略的$|f(x)| \geq a$可凭借不等式进行积分$\varphi_A \leq (|f|/a)^p$；此外，我们由此不等式推断出$N_p(f) \geq a \cdot (|\mu|(A))^{1/p}$；让$p$趋向于$+\infty$，则可以得出$\liminf_{p \to +\infty} N_p(f) \geq a$，从而完成证明。