习题 7, § 6

令 $f$ 为数值函数，为正数、可测量且不可忽略。 a) 证明，对于有限的数 $r > 0$，$f^r$ 可积，则 $\log f$ 准可积（§ 5，Exer.15）。 b) 假设 $f^r$ 对于 $0 < r < r_0$ 可积。令$A$为$x \in X$的集合，使得$f(x) > 0$；证明如果$\mu^*(A) > 1$，则$N_r(f)$趋向于$+\infty$，因为$r$趋于0；如果 $\mu(A) < 1$，$N_r(f)$ 趋向于 0，且 $r$（利用I 章的第 4 条）。 c) 如果$\mu(A) = 1$，证明当$r$趋于0时，$\int f^r d\mu$趋于1，并且在点处有一个右导数，等于$\int \log f \, d\mu$（利用§ 5的Exer.12）；由此推论，当$r$趋于0时，$N_r(f)$趋于$G(f) = \exp(\int \log f \, d\mu)$。 d) 如果 $\mu(X) = 1$ 且 $f^r$ 和 $\log f$ 可积，证明仅当 $f$ 几乎处处恒定时，$G(f) \leq N_r(f)$、等式才成立（利用 Exer.4）。 e) 如果 $\mu(X) = 1$ 且 $f$ 和 $g$ 是两个可测量的函数，为正且定义了 $G(f)$ 和 $G(g)$，则证明$G(f + g)$ 已定义，并且仅当存在两个时，$G(f) + G(g) \leq G(f + g)$、等式才成立数$\alpha, \beta$，而不是同时零，这样$\alpha f(x) = \beta g(x)$几乎无处不在，或者如果$G(f + g) = 0$（利用$d$），考虑函数$f/(f + g)$和$g/(f + g)$）。