Bài tập 7, § 6

Cho $f$ là một hàm số có giá trị số dương, đo được và không tầm thường. a) Chứng minh rằng nếu, với một số hữu hạn $r > 0$, $f^r$ khả tích, thì $\log f$ là khả tích gần đúng (§ 5, Exer. 15). b) Giả sử rằng $f^r$ khả tích với $0 < r < r_0$. Gọi $A$ là tập hợp các $x \in X$ sao cho $f(x) > 0$; chứng minh rằng nếu $\mu^*(A) > 1$, thì $N_r(f)$ tiến tới $+\infty$ khi $r$ tiến tới 0; nếu $\mu(A) < 1$, thì $N_r(f)$ tiến tới 0 cùng với $r$ (sử dụng Mệnh đề 4 của Ch. I). c) Nếu $\mu(A) = 1$, chứng minh rằng $\int f^r d\mu$ tiến tới 1 khi $r$ tiến tới 0, và có đạo hàm phải tại điểm này, bằng $\int \log f \, d\mu$ (sử dụng Exer. 12 của § 5); từ đó, suy ra rằng khi $r$ tiến tới 0, $N_r(f)$ tiến tới $G(f) = \exp(\int \log f \, d\mu)$. d) Nếu $\mu(X) = 1$ và nếu $f^r$ và $\log f$ khả tích, chứng minh rằng $G(f) \leq N_r(f)$, đẳng thức chỉ xảy ra nếu $f$ là hằng hầu khắp nơi (sử dụng Exer. 4). e) Nếu $\mu(X) = 1$ và nếu $f$ và $g$ là hai hàm đo được, dương và sao cho $G(f)$ và $G(g)$ được xác định, chứng minh rằng $G(f + g)$ được xác định và rằng $G(f) + G(g) \leq G(f + g)$, đẳng thức chỉ xảy ra nếu tồn tại hai số $\alpha, \beta$, không đồng thời bằng không, sao cho $\alpha f(x) = \beta g(x)$ hầu khắp nơi, hoặc nếu $G(f + g) = 0$ (sử dụng $d$), xét các hàm $f/(f + g)$ và $g/(f + g)$).