Exercice 7, § 6

Soit $f$ une fonction numérique positive, mesurable et non négligeable.

a) Montrer que si pour un nombre fini $r > 0$, $f^r$ est intégrable, $\log f$ est quasi-intégrable ($§ 5$, exerc. 15).

b) On suppose que $f^r$ soit intégrable pour $0 < r < r_0$. Soit $A$ l’ensemble des $x \in X$ tels que $f(x) > 0$; montrer que, si $\mu^*(A) > 1$, $N_r(f)$ tend vers $+\infty$ lorsque $r$ tend vers $0$; si $\mu(A) < 1$, $N_r(f)$ tend vers $0$ avec $r$ (utiliser la prop. 4 du chap. I).

c) Si $\mu(A) = 1$, montrer que $\int f^r \, d\mu$ tend vers $1$ lorsque $r$ tend vers $0$, et a une dérivée à droite en ce point, égale à $\int \log f \, d\mu$ (utiliser l’exerc. 12 du $§ 5$); en déduire que, lorsque $r$ tend vers $0$, $N_r(f)$ tend vers

d) Si $\mu(X) = 1$ et si $f^r$ et $\log f$ sont intégrables, montrer que l’on a $G(f) \leqslant N_r(f)$, l’égalité n’ayant lieu que si $f$ est constante presque partout (utiliser l’exerc. 4).

e) Si $\mu(X) = 1$ et si $f$ et $g$ sont deux fonctions mesurables, positives et telles que $G(f)$ et $G(g)$ soient définis, montrer que $G(f + g)$ est défini et qu’on a $G(f) + G(g) \leqslant G(f + g)$, l’égalité n’ayant lieu que s’il existe deux nombres $\alpha, \beta$ non tous deux nuls et tels que $\alpha f(x) = \beta g(x)$ presque partout, ou si $G(f + g) = 0$ (utiliser $d$), en considérant les fonctions $f/(f + g)$ et $g/(f + g)$.