习题 16, § 5

令$X$为紧空间，$\mu$为$X$的正测度。如果 $X$ 的点的集合其中 $f$ 是连续的（相对于 $X$）具有测度补集，则在 $X$ 上定义的有界数值函数 $f$ 被称为在 $X$ 中几乎处处连续（对于测度$\mu$） 零。

a) 给出函数 $f$ 中的例，它几乎处处连续，并且不存在任何几乎处处等于 $f$ 的连续函数 $g$。

b) 假设$\mu$的支持度与$X$相同。证明，对于在 $X$ 上定义的有界数值函数 $f$ 几乎处处等于函数并且在 $X$ 中几乎处处连续，存在 $X$ 的子集 $H$ 是充分必要的，其补数可忽略不计，使得$f$到$H$的限制$f|H$是连续的（证明条件是充分的，注$H$在$X$是稠密的，$f|H$到扩张是连续的） $X$（GT，IV, §6，命题 4）上的下半连续$X$是在$H$的每点处的连续函数（相对于$X$）。由此推断$f$是可测量的。

c) 从 b) 中推导出，如果加法 $X$ 是可度量的，那么对于每个几乎处处等于函数且几乎处处连续的 $X$ 中的有界数值函数 $f$，存在序列 $(f_n)$ 函数在$X$上连续，即在$X$的*每个*点处收敛，并且其极限几乎处处等于$f$ (cf. §4, Exer. 4 c)) (注命题对于下半连续函数 $f$）成立。

d) 令 $A$ 为完美的集合，没有内部点，包含在 $X$ 中，且尺寸为 $> 0$（cf. §4，Exer. 4 a)）。证明在 $X$ 中不存在几乎处处连续且几乎处处等于上半连续函数 $\varphi_A$ 的函数。