Bài tập 16, § 5

Cho $X$ là một không gian compact, $\mu$ là một độ đo dương trên $X$. Một hàm số bị chặn $f$ xác định trên $X$ được gọi là liên tục hầu khắp nơi (đối với độ đo $\mu$) trong $X$ nếu tập hợp các điểm của $X$ tại đó $f$ liên tục (tương đối với $X$) có phần bù có độ đo không.

a) Cho một ví dụ về một hàm $f$ liên tục hầu khắp nơi và sao cho không tồn tại hàm liên tục nào $g$ bằng hầu khắp nơi với $f$.

b) Giả sử rằng giá của $\mu$ đồng nhất với $X$. Chứng minh rằng, để một hàm số bị chặn $f$ xác định trên $X$ bằng hầu khắp nơi với một hàm liên tục hầu khắp nơi trong $X$, điều kiện cần và đủ là tồn tại một tập con $H$ của $X$, có phần bù là không đáng kể, sao cho hạn chế $f|H$ của $f$ lên $H$ là liên tục (để chứng minh rằng điều kiện là đủ, chú ý rằng $H$ là trù mật trong $X$, và rằng mở rộng của $f|H$ lên $X$ là nửa liên tục dưới trên $X$ (GT, IV, §6, Prop. 4) là một hàm liên tục (tương đối với $X$) tại mọi điểm của $H$). Suy ra từ đó rằng $f$ là đo được.

c) Suy ra từ b) rằng nếu thêm $X$ là đo được mêtric thì, với mọi hàm số bị chặn $f$ bằng hầu khắp nơi với một hàm liên tục hầu khắp nơi trong $X$, tồn tại một dãy $(f_n)$ các hàm liên tục trên $X$, hội tụ tại mọi điểm của $X$, và có giới hạn bằng hầu khắp nơi với $f$ (xem §4, Bài tập 4 c)) (chú ý rằng mệnh đề đúng đối với một hàm nửa liên tục dưới $f$).

d) Cho $A$ là một tập hợp hoàn hảo không có điểm trong, được chứa trong $X$, và có độ đo $> 0$ (xem §4, Bài tập 4 a)). Chứng minh rằng không tồn tại hàm nào liên tục hầu khắp nơi trong $X$ và bằng hầu khắp nơi với hàm nửa liên tục trên $\varphi_A$.