Exercice 16, § 5

Soient X un espace compact, $\mu$ une mesure positive sur X. On dit qu’une fonction numérique bornée $f$ définie dans X est continue presque partout (pour la mesure $\mu$) dans X si l’ensemble des points de X où $f$ est continue (par rapport à X) a un complémentaire de mesure nulle.

a) Donner un exemple de fonction $f$ continue presque partout et telle qu’il n’existe aucune fonction continue $g$ égale presque partout à $f$.

b) On suppose que le support de $\mu$ soit identique à X. Montrer que, pour qu’une fonction numérique bornée $f$ définie dans X soit égale presque partout à une fonction continue presque partout dans X, il faut et il suffit qu’il existe une partie H de X, dont le complémentaire soit négligeable, et qui soit telle que la restriction $f|H$ de $f$ à H soit continue (pour prouver que la condition est suffisante, remarquer que H est partout dense dans X, et que le prolongement de $f|H$ à X qui est semi-continu inférieurement dans X (Top. gén., chap. IV, § 6, prop. 4) est une fonction continue (par rapport à X) en tout point de H). En déduire que $f$ est mesurable.

c) Déduire de b) que si X est en outre métrisable, pour toute fonction numérique $f$ bornée et presque partout égale à une fonction continue presque partout dans X, il existe une suite $(f_n)$ de fonctions continues dans X, qui est convergente en tout point de X, et dont la limite est presque partout égale à f (cf. § 4, exerc. 4 c)) (remarquer que la proposition est vraie pour une fonction f semi-continue inférieurement).

d) Soit A un ensemble parfait sans point intérieur, contenu dans X, et de mesure > 0 (cf. § 4, exerc. 4 a)). Montrer qu’il n’existe aucune fonction continue presque partout dans X et égale presque partout à la fonction semi-continue supérieurement $\varphi_A$.