习题 17, § 4

记号 and conventions are those of Exer. 15.

a) 令 $\mu$ 为 G 上的有界测度；对于$L^p(G, \beta)$的自同态$\gamma(\mu): f \mapsto \mu * f$是满射（$1 \leq p < +\infty$），存在$c_p > 0$使得$\| \nu * g \|_q \geq c_p \| g \|_q$对于所有$g \in L^q(G, \beta)$（其中$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$）（cf.TVS，IV, §4, No. 2， 注遵循第 1) 条第 3 条。

b) 如果$\mu$是基$\beta$的测度，并且G不是离散的，则证明$\gamma(\mu)$对于$1 \leq p \leq +\infty$永远不是满射（对于$p < +\infty$，使用a），简化为$\mu$的密度相对于$\beta$的情况属于至$\mathscr{K}(G)$；对于$p = +\infty$，直接通过注意到论证，对于$f \in L^1(G, \beta)$和$g \in L^\infty(G, \beta)$，$f * g$对于右一致结构来说是一致连续的）。

c) 如果 G 是阿贝尔的、$1 \leq p \leq 2$ 和自同态 $L^p(G, \beta)$ 的 $\gamma(\mu)$ 是满射，则表明它是双射的（使用正则化，证明如果 $\gamma(\mu)$ 不是单射，则 $L^q(G, \beta)$ 的自同态 $\gamma(\nu)$ 不是单射：利用章。 IV, §6, No. 5，科。提案 4）。

d) 取$G = \mathbf{Z}$和$\mu = \varepsilon_1 - \varepsilon_0$；证明$\gamma(\mu)$在$p \neq +\infty$的$L^p(\mathbf{Z}, \beta)$中是单射的，但在$L^\infty(\mathbf{Z}, \beta)$中不是单射的，并且对于$p$的任何值都不是满射。