Bài tập 17, § 4

Kí hiệu và quy ước là của Bài tập 15.

a) Cho $\mu$ là một độ đo bị chặn trên G; để tự đồng cấu $\gamma(\mu): f \mapsto \mu * f$ của $L^p(G, \beta)$ là toàn ánh ($1 \leq p < +\infty$), điều kiện cần và đủ là tồn tại một $c_p > 0$ sao cho $\| \nu * g \|_q \geq c_p \| g \|_q$ với mọi $g \in L^q(G, \beta)$ (trong đó $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$) (xem TVS, IV, §4, No. 2, các nhận xét sau Hệ quả 3 của Định lý 1).

b) Nếu $\mu$ là một độ đo với cơ sở $\beta$, và G không rời rạc, chứng minh rằng $\gamma(\mu)$ không bao giờ là toàn ánh với $1 \leq p \leq +\infty$ (với $p < +\infty$, dùng a), quy về trường hợp mật độ của $\mu$ đối với $\beta$ thuộc về $\mathscr{K}(G)$; với $p = +\infty$, lập luận trực tiếp bằng cách nhận thấy rằng với $f \in L^1(G, \beta)$ và $g \in L^\infty(G, \beta)$, $f * g$ là đều liên tục đối với cấu trúc đều phải).

c) Nếu G là Abel, $1 \leq p \leq 2$ và tự đồng cấu $\gamma(\mu)$ của $L^p(G, \beta)$ là toàn ánh, chứng minh rằng nó là song ánh (dùng sự chính quy hóa, chứng minh rằng nếu $\gamma(\mu)$ không đơn ánh thì tự đồng cấu $\gamma(\nu)$ của $L^q(G, \beta)$ không đơn ánh: dùng Ch. IV, §6, No. 5, Hệ quả của Mệnh đề 4).

d) Lấy $G = \mathbf{Z}$ và $\mu = \varepsilon_1 - \varepsilon_0$; chứng minh rằng $\gamma(\mu)$ là đơn ánh trong các $L^p(\mathbf{Z}, \beta)$ mà $p \neq +\infty$, nhưng không phải trong $L^\infty(\mathbf{Z}, \beta)$, và nó không là toàn ánh với bất kì giá trị nào của $p$.