Exercice 17, § 4

Les notations et conventions sont celles de l’exerc. 15.

a) Soit $\mu$ une mesure bornée sur $G$; pour que l’endomorphisme $\gamma(\mu): f \to \mu * f$ de $L^p(G, \beta)$ soit surjectif ($1 \leq p < +\infty$), il faut et il suffit qu’il existe $c_p > 0$ tel que $\|\tilde{\mu} * g\|_q \geq c_p \|g\|_q$ pour tout $g \in L^q(G, \beta)$ (où $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$) (cf. Esp. vect. top., chap. IV, § 5, exerc. 11).

b) Si $\mu$ est une mesure de base $\beta$, si $G$ n’est pas discret, montrer que $\gamma(\mu)$ n’est jamais surjectif pour $1 \leq p \leq +\infty$ (pour $p < +\infty$, utiliser a)), en se ramenant au cas où la densité de $\mu$ par rapport à $\beta$ appartient à $\mathscr{K}(G)$; pour $p = +\infty$, raisonner directement en remarquant que pour $f \in L^1(G, \beta)$ et $g \in L^\infty(G, \beta)$, $f * g$ est uniformément continue pour la structure uniforme droite).

c) Si $G$ est commutatif, $1 \leq p \leq 2$ et si l’endomorphisme $\gamma(\mu)$ de $L^p(G, \beta)$ est surjectif, montrer qu’il est bijectif (en utilisant la régularisation, montrer que si $\gamma(\mu)$ n’est pas injectif, l’endomorphisme $\gamma(\tilde{\mu})$ de $L^q(G, \beta)$ n’est pas injectif : on utilisera le chap. IV, § 6, no 5, cor. de la prop. 4).

d) On prend $G = \mathbf{Z}$ et $\mu = \varepsilon_1 - \varepsilon_0$; montrer que $\gamma(\mu)$ est injectif dans les $L^p(\mathbf{Z}, \beta)$ tels que $p \neq +\infty$, mais non dans $L^\infty(\mathbf{Z}, \beta)$, et n’est surjectif pour aucune valeur de $p$.