这只不过是第 5 章的提案 5。将III, §3, No. 2应用于K的典范嵌入到E中。

因为，C 也是 ${E'}^*$ 中 K 的闭凸包络，配备了弱拓扑 $\sigma(E', E')$，并且足以将 K 的典范嵌入应用到第 4 章的 E 命题 4 中。 III, §3, No. 2。

当 $\mu$ 是总质量 1 的 K 上的离散正测度时，命题 2 重新产生不等式，即定义 K 上的凸函数。

只要 $\inf_{x \in K} g(x) = a$ 是有限的，并且满足注即可，并将命题 2 应用于 $g - a$。

对于模糊拓扑，令U为$\mu$的邻域；我们可以假设 U 由 K 上的测量 $\nu$ 组成，使得

对于函数 $f_i \in \mathscr{C}(K; \mathbf{C})$ ($1 \leq i \leq p$) 和数 $\delta > 0$ 的有限数。对于每个点 $a \in K$，E 中存在一个闭凸邻域 $V_a$ 0，使得

for $1 \leq i \leq p$ and for every $y \in W_a = K \cap (a + V_a)$.由于$K$是紧致的，因此存在$K$的点$a_j$（$1 \leq j \leq r$）的有限数，使得$W_{a_j}$形式覆盖$K$（$1 \leq j \leq r$）。 Consider a continuous 划分 of 单位元 $(g_j)_{1 \leq j \leq r}$ on $K$, subordinate to the covering $(W_{a_j})$, and 集合 $\alpha_j = \mu(g_j)$ for all $j$; if $\alpha_j \neq 0$ 集合 $\mu_j = \alpha_j^{-1} g_j \cdot \mu$, and if $\alpha_j = 0$ 集合 $\mu_j = \varepsilon_{a_j}$.每个度量$\mu_j$都是正数，总质量为1，其支撑包含在紧凸凸集合$W_{a_j}$中；此外，通过定义，

since $g_j \cdot \mu = 0$ if $\mu(g_j) = 0$; the $\alpha_j$ are $\geq 0$ and

令$x_j$为$\mu_j$的重心，其中属于到$W_{a_j}$（No. 1，命题1），并考虑离散测度$\nu = \sum_{j=1}^r \alpha_j \varepsilon_{x_j}$；它是正数，总质量为1，其重心为$\sum_{j=1}^r \alpha_j x_j$，根据式(3)，它也是$\mu$的重心，因此等于$x$。 Moreover, by (2), $|f_i(y) - f_i(a_j)| \leq \delta/2$ for all $y \in W_{a_j}$ and for all $i$, 从而, since $\operatorname{Supp}(\mu_j) \subset W_{a_j}$, $|\mu_j(f_i) - f_i(a_j)| \leq \delta/2$ for $1 \leq i \leq p$. On the other hand, since $x_j \in W_{a_j}$, one also has

对于 $1 \leq i \leq p$、从而 $|\mu_j(f_i) - \varepsilon_{x_j}(f_i)| \leq \delta$ 对于所有 $i$ 和 $j$。 Since the $\alpha_j$ are $\geq 0$ and have 和 1, it follows from (3) and 定义 of $\nu$ that $\nu$ satisfies 不等式 (1).

Q.E.D.

假设$x$是$K$的极值点；为了证明 $\varepsilon_x$ 是总质量为 1 的 $K'$ 上唯一的正测量，以 $x$ 作为重心，根据命题 3，只要看到*离散*的集合在 $K'$ 上的测量$\nu$ 是正的，总质量为 1，且 $x$ 为重心，约化至 $\varepsilon_x$。但这样的测度$\nu$是形式$\sum_{i=1}^r \lambda_i \varepsilon_{x_i}$，$\lambda_i > 0$代表$1 \leq i \leq r$和$\sum_{i=1}^{r} \lambda_i = 1$，假设$x$是$\nu$的重心可以写成$x = \sum_{i=1}^{r} \lambda_i x_i$。由于$x$是极值，这意味着$x_i = x$对于所有$i$，从而$\nu = \varepsilon_x$。

相反，让我们假设 $\varepsilon_x$ 是总质量为 1 的 $K'$ 的唯一正测度，以 $x$ 作为重心，并让我们证明 $x$ 是极值。相反的情况下，将存在$K$和实数$\lambda$的两个不同的点$x', x''$，使得$0 < \lambda < 1$和$x = \lambda x' + (1 - \lambda) x''$。根据命题 1，$x'$（或$x''$）是总质量 1 的 $K'$ 上的正测度 $\mu'$（或$\mu''$）的重心。则 $x$ 是 $\lambda \mu' + (1 - \lambda) \mu''$ 的重心。因此$\lambda \mu' + (1 - \lambda) \mu'' = \varepsilon_x$。因此$\mu'$和$\mu''$与$\varepsilon_x$、从而$x' = x'' = x$成正比，这是荒谬的。

为了证明第一个断言，用I表示$\mathbf{R}$的区间$[0, 1]$；由于 K 是紧凑且可度量的，因此 $K \times K \times I$ 也是如此；由三元组$(x, y, \lambda)$构成$K \times K \times I$的子集 U，使得$x \neq y$和$0 < \lambda < 1$在$K \times K \times I$中开，因此在$K \times K \times I$中存在闭集合的序列$(F_n)$，其并是U （GT，IX, §2, No. 5，提案 7）。由$q(x, y, \lambda) = \lambda x + (1 - \lambda) y$定义的映射$q : K \times K \times I \to K$是连续的，并且由极值点的定义，$K - M = q(U) = \bigcup_n q(F_n)$；但 $F_n$ 是紧的，因为它在 $K \times K \times I$ 中是闭的，因此 $q(F_n)$ 是紧的，因此在 K 中是闭的；因此，集合 $U_n = K - q(F_n)$ 在 K 中开，我们有 $M = \bigcap_n U_n$。

在证明的延续中，我们将用$u$表示K上的连续且*凸*数值函数，用$G \subset E \times \mathbf{R}$表示$u$的图，并用S表示$E \times \mathbf{R}$中G的*封闭凸包络*。

根据Hahn-Banach 定理，对于$(a, b)$到属于到S，对于$E \times \mathbf{R}$上的每个连续仿射线性函数$h$，$h(a, b) \geq 0$是必要且充分的，使得$h(x, u(x)) \geq 0$对于$x \in K$。 设定$h(x, t) = f(x) - \lambda t$，其中$f$是E上的连续仿射线性函数，我们看到关系$(a, b) \in S$等价于以下性质：关系

意味着

(5)

首先集合$\lambda = 0$； (4) 蕴含 (5) 的事实对于 $E$ 上的每个连续仿射线性函数 $f$ 等价于 Hahn-Banach 定理的关系 $a \in K$。接下来，集合$\lambda = -1$和替换$f$乘$-f$；那么$K$中的关系$f(x) \leq u(x)$必然隐含$f(a) \leq b$。但由于 $u$ 在 $K$ 上是凸且连续的，$u(a)$ 等于 $f(a)$ 的上界，对于 $E$ 上的连续仿射线性函数 $f$，使得 $f(x) \leq u(x)$ 在 $K$ 上（TVS， II, §5, No. 4，提案 5)；因此我们得到关系$b \geq u(a)$。最后，集合$\lambda = 1$；如果说 (4) 蕴含 (5)，那么通过定义就意味着 $b \leq \overline{u}(a)$。这证明了引理，因为关系 (4)（或(5)）等价于两边都乘以标量$> 0$。

因为，$K$存在两个不同的点$y, z$，使得$x = (y + z)/2$、从而$u(x) < (u(y) + u(z))/2$，因为$u$是严格凸的。如果$f$是$E$上的仿射线性函数，则$f(x) = (f(y) + f(z))/2$；将应用这个关系代入$K$上$\geq u$的连续仿射线性函数$f$，我们得到

这些引理成立，因此我们（引理1）对于所有$a \in K$有$(a, \overline{u}(a)) \in S$。 Since $G$ is compact, being the image of $K$ under the continuous mapping $x \mapsto (x, u(x))$, there exists, by Prop. 1 of No. 1, a positive measure $\nu$ on $G$, of total mass 1 , having $(a, \overline{u}(a))$ as barycenter. 由于投影 $pr_1$ 到 $G$ 的限制是 $G$ 到 $K$ 的同胚，因此测度 $\nu$ 可以通过该同胚传输，从而在 $K$（正且总质量为 1 ）上产生测度 $\mu$，使得

(6)

关系 (6) 中的第一个表示$a$ 是$\mu$ 的重心。 函数 $\overline{u}$ 是上半连续且有界于 $K$，因此是 $\mu$ 可积（§4, No. 4，第 5 条命题的 Cor. 1）；此外，由于函数 $-\overline{u}$ 是定义凸的，所以根据 Cor，我们有： No. 1第2号提案，

(7)

从而，与公式(6)中的第二个比较，

但由于$u(\mathbf{x}) \leq \overline{u}(\mathbf{x})$在K上，关系(8)意味着$u(\mathbf{x}) = \overline{u}(\mathbf{x})$几乎处处对于$\mu$。考虑到引理 2，一旦建立了引理，就可以证明定理 1：

因为，Banach 空间 $\mathscr{C}(K; \mathbf{R})$ 是可分离的 (GT, X, §3, No. 3, Th. 1)，因此由限制到 K 的 E 上的连续仿射线性函数形成的 $\mathscr{C}(K; \mathbf{R})$ 的子空间 $\mathscr{A}$ 也是可分离的。因此令$(h_n)$ 是序列稠密于 $\mathscr{A}$，并设 $\alpha_n > \sup_{\mathbf{x} \in K} |h_n(\mathbf{x})|$。那么函数$h_n^2 / n^2 \alpha_n^2$在K上都是凸的（TVS，II, §2, No. 8，*例*），而级数与一般的项$h_n^2 / n^2 \alpha_n^2$是正常收敛的，因此它的和$u$在K上是连续的凸的。还有待观察$u$是严格凸的，为此只要证明对于K的任何两个不同的点$\mathbf{x}, \mathbf{x}'$，都存在整数$n$使得$h_n^2$的限制到端点为$\mathbf{x}, \mathbf{x}'$的线段是严格凸的；但为此，$h_n(\mathbf{x}) \neq h_n(\mathbf{x}')$就足够了（*loc.cit.*）。现在，存在函数 $h \in \mathscr{A}$ 使得 $h(\mathbf{x}) \neq h(\mathbf{x}')$（TVS，II, §4, No. 1，命题 2 的 Cor.1），并且由于序列 $(h_n)$ 在 $\mathscr{A}$ 中是稠密的，因此存在 $n$ 使得 $h_n(\mathbf{x}) \neq h_n(\mathbf{x}')$。

Q.E.D.

对于，$\mathbf{x}$属于到C的上限K（TVS，II, §7, No. 2，提案5），以及K的极值点的$M \cap K$包含集合（*loc.cit.*，提案第1条） 4).然后应用 Th 就足够了。 1.

(ii) 对于点 $i_{\mathscr{H}}(x)$ 作为 C 的极值点，*唯一的正测量* $\lambda$ 在 X 上是必要且充分的

对于每个函数 $h \in \mathscr{H}$（这特别意味着$\lambda$的总质量为1，因为$1 \in \mathscr{H}$）*是狄拉克测度*$\varepsilon_x$。

由此可见，对于每个$h \in \mathscr{H}$，C上的函数$z' \mapsto \langle h, z' \rangle$至少在C的一个极值点处达到其极值（TVS，II, §7, No. 1，命题1），并且这个点属于至 $i_{\mathscr{H}}(X)$（*loc. cit.*，Cor. of Prop. 2）。

(i) 根据(9)，$\| i_{\mathscr{H}}(x) \| \leq 1$在范数空间$\mathscr{H}'$中，在其他字$i_{\mathscr{H}}(X)$中是有界的，并且断言从$\mathscr{H}'$配备弱拓扑$\sigma(\mathscr{H}', \mathscr{H})$的事实得出，是*准完整*（TVS，III, §4, No. 2，Th.1 的 Cor.5）。

(ii) 质量 1 在 $i_{\mathscr{H}}(X)$ 上的每一个正测度 $\mu$，通过结构的迁移，通过同胚 $i_{\mathscr{H}}$，由质量 1 在 X 上的正测度 $\lambda$ 产生，狄拉克测度 $\varepsilon_{i_{\mathscr{H}}(x)}$ 产生于$\varepsilon_x$。说$\mu$承认$i_{\mathscr{H}}(x)$作为重心意味着，通过定义，

每函数$h \in \mathscr{H}$。考虑到(9)，断言(ii)只是No. 2标准的翻译，Cor.根据第 3 条命题，$i_{\mathscr{H}}(x)$ 是 C 的极值点。

我们可以说，第 4 条命题的点 $x \in X$ 满足条件 (ii) 是$\mathscr{H}$-极值；我们用$\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$（或简称为$\mathrm{Ch}(X)$）集合表示这些点，并用$\check{S}_{\mathscr{H}}(X)$（或简称为$\check{S}(X)$）表示$X$中的$\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$的闭包。

令$x$为$X$中的点，$h$函数在$\mathscr{H}$中。对于所有$z \in X$，关系$h(z) \leq h(x)$ 对于所有$z \in X$，可以写成$\langle h, i_{\mathscr{H}}(z) \rangle \leq \langle h, i_{\mathscr{H}}(x) \rangle$，因此意味着$\mathscr{H}'$的弱闭超平面与方程$\langle h, t' \rangle = \langle h, i_{\mathscr{H}}(x) \rangle$是一个*支持超平面* $i_{\mathscr{H}}(X)$。已知（TVS，II, §7, No. 1，Prop. 1），这样的超平面包含至少有一个$i_{\mathscr{H}}(X)$的封闭凸包络的极值点，并且这样的点$i_{\mathscr{H}}(y)$是一个像 $\mathscr{H}$-极值点 $y$ by 定义；因此$h(y)$等于$h$在$X$中的上界。

a) $x$ 是 $\mathscr{H}$*-极值*。

b) 对于每个开放邻域 $U$ ** $x$ 在 $X$ 和每个 $\varepsilon > 0$，*存在函数* $h \geq 0$ 在 $\mathscr{H}$ 这样 $h(x) \leq \varepsilon$ 和 $h(y) \geq 1$ 对于每个 $y \in X - U$。

令$x$为$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$中$X$、$f$函数中的任意点；已知（TVS，II, §3, No. 1，命题 1）数 $\lambda(f)$ 的下确界，对于 $X$ 上的所有正测量，使得对于每个函数 $h \in \mathscr{H}$，$\lambda(h) = h(x)$ 等于数的上界$h(x)$，其中$h$超过函数$h \in \mathscr{H}$的集合，从而得到$h \leq f$。假设$x$是$\mathscr{H}$-极值；然后根据命题 4，(ii) 对于每一个函数 $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$，

为了证明 a) 蕴含 b)，我们将 $f$ 取 $X$ 的连续映射放入 $[0, 1]$，并在 $U$ 中包含支持，使得 $f(x) = 1$；那么，根据(11)，存在函数$h' \in \mathscr{H}$使得$h' \leq f$和$h'(x) \geq 1 - \varepsilon$。由于$1 \in \mathscr{H}$，函数$h = 1 - h'$满足*b)*的条件。

反之，假设条件 b) 被验证；这个条件意味着$1 - h \leq \varphi_U$；对于 $X$ 满足条件 (10) 上的每一个积极措施$\lambda$，我们因此有

因为，到假设，这个关系适用于每个$\varepsilon > 0$以及$x$的每个开放邻域$U$，因此

对于每个$\varepsilon > 0$，因此$\lambda(\{x\}) = 1$。由于 $\lambda$ 为正且总质量为 1，必然为 $\lambda = \varepsilon_x$，根据命题 4 (ii)，证明 $x$ 是 $\mathscr{H}$-极值。

a) F 包含于 $\check{S}_{\mathscr{H}}(X)$.

b) 对于每个函数 $h \in \mathscr{H}$，集合 F 与 X 的点的集合相交，其中 h 达到其最高值。

c) 对于每个点 $x \in X$，在 X 上存在总质量 1 的正测量值 $\mu$，使得每个函数 $h \in \mathscr{H}$ 都有 $\operatorname{Supp}(\mu) \subset F$ 和 $h(x) = \int h \, d\mu$。

让$G = i_{\mathscr{H}}(F)$。 条件 a) 表示 C 的极值点的 G 包含集合。 条件 b) 表示 G 满足$i_{\mathscr{H}}(X)$ 的交以及$i_{\mathscr{H}}(X)$ 的每个闭支撑超平面。最后，条件 c) 表示$i_{\mathscr{H}}(X)$的每个点都是G中包含支持的测度的重心；根据 No. 1，命题 1，这也相当于说，$i_{\mathscr{H}}(X)$ 的闭凸包络等于 G 的闭凸包络。条件 a)、*b)* 和 c) 的等价因此可从 TVS、II, §7, No. 1、Cor 得出。提案 2。

每$h \in \mathscr{H}$。

这是Th的翻译。 No. 2 的 1，通过同胚 $x \mapsto i_{\mathscr{H}}(x)$ 乘以结构的迁移，如命题 5 所示。

当X上定义的函数的集合$\mathscr{P}$替换$\mathscr{H}$时，该编号的某些数可以扩展，其中$\mathbf{R} \cup \{+\infty\}$中的值是下半连续的，假设$\mathscr{P}$为包含常数和满足 $\mathscr{P} + \mathscr{P} \subset \mathscr{P}$（例 2）。

我们可以将极限自己考虑到$f$不是常数0的情况。令$a$为$X$的点，其中$|f|$达到其最高值，并且集合$g = f/f(a)$；然后 $g(a) = 1$ 和 $|g(x)| \leq 1$ 对于所有 $x \in X$、从而

根据No. 3的第5条法则应用于$\mathscr{H}_r$，存在$b \in \mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$，其中$\Re((g(x))$达到其上等1，自$|g(b)| \leq 1$起从而$|g(b)| = 1$；由此可见，对于所有$x \in X$，$|f(b)| = |(f(a)| \geq |f(x)|$。

令$(V_n)$ ($n \geq 1$) 为$a$邻域的基本系统，并令$\lambda, \mu, \varepsilon$为数，使得

因此$0 < \lambda / \mu < 1 / \mu < 1$。我们将在 $n$ ($n \geq 1$)、递减序列 $(U_n)$ 前往定义、归纳 $a$ 的开放社区，这样$U_n \subset V_n$ 适合所有 $n$，以及序列 $\mathscr{H}$ 满足关系函数中的$(h_n)$ 假设为$1 \leq m < n$、满足前面四个条件定义了$h_m$和$U_m$（其中$n$替换为$m$）；另一方面，集合$U_0 = X$。 函数 $\sum_{j=1}^{n-1} \lambda^j h_j$（如果$n = 1$则等于0）是连续的并且在点$a$处取值$\sum_{j=1}^{n-1} \lambda^j$；因此存在$a$的开邻域$U_n$，包含在$U_{n-1} \cap V_n$中，使得 到假设时，存在函数 $f \in \mathscr{H}$ 使得 集合$h_n = f / f(a)$； 关系 $(13_n)$、$(14_n)$ 和 $(15_n)$ 然后按住； 集合 通过 (17) 和 $(13_n)$，对于 $y \in U_n$ 我们有

从 $\varepsilon + \mu \leq 1 + \lambda$ 开始；对于$x \in X - U_n$，我们还有$|h_p(x)| \leq \lambda$对于$1 \leq p \leq n$，还有从而

完备的$(16_n)$的证明。

因此，对于所有 $n$ 和所有 $x \in X$，自 $\lambda < 1$ 和 $|h_n(x)| \leq \mu$ 起，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \lambda^n h_n$ 通常收敛于 $X$；设$u$为其和，由于$\mathscr{H}$是封闭的，所以属于到$\mathscr{H}$。到关系$(14_n)$，我们有$u(a) = \sum_{n=1}^{\infty} \lambda^n$；另一方面，如果$x \neq a$，则存在整数$n$使得$x \notin U_{n+1}$；因此 $|h_{n+k}(x)| \leq \lambda$ 对于所有 $k \geq 1$ 乘以关系 $(15_n)$；由此可见，使用$(16_n)$，