习题 5, § 7

记号是 Exer 的。 4 e)，令$\mathscr{A}'$表示规范化空间$\mathscr{A}$的对偶，配备从$\mathscr{A}$推导出来的阶结构（第II, §2章）。另一方面，用C表示由空间$E \times \mathbf{R}$中$X \times \{1\}$生成的顶点为0的凸圆锥。

a) 证明下列性质是等价的： (i) 每个点 $x \in X$ 都是 $X$ 上质量 1 的*唯一最大测量值* $\beta_x$ 的重心。 (ii) 由$C$生成的向量空间$F$是阶结构的格，其中$C$为元素$\geqslant 0$的集合（在其他字中，$X$是一个*单纯形* （TVS，II, §2，Exer.41））。 (iii) 对于每个函数 $f \in \mathscr{P}$，$S(f)$ 既是凹的又是凸的。 (iv) 如果 $\mu$ 和 $\nu$ 是两个最大度量，使得 $\mu(h) = \nu(h)$ 对于所有 $h \in \mathscr{A}$，则 $\mu = \nu$。 (v) 向量空间 $\mathscr{A}'$ 是 Riesz 空间。 (vi) 如果$f$和$g$是$\mathscr{P}$中的两个函数，则$S(f + g) = S(f) + S(g)$。 （首先证明（i）蕴涵以下性质： (vii) 映射 $x \mapsto \beta_x$ 只能以一种方式扩展到 $F$ 的双射线性映射到由最大度量生成的 $\mathscr{M}(X)$ 的子空间，并且将这个映射变换 $C$ 扩展到圆锥中的最大措施。 然后使用 Exer 从 (vii) 推出 (ii)。 2 e).要从 (ii) 推出 (iii)，请在 Riesz 空间 $F$ 和 Exer 中使用分解引理。 4f）。要从 (iii) 推导出 (iv)，请使用以下事实：如果 $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ 既是凹的又是凸的，则 $h \in \mathscr{A}$ 的集合使得所有 $x \in X$ 的 $h(x) > g(x)$ 是递减有向集合（TVS，II, §5，道具 1）。 6) 其下包络线为 $g$；然后应用Exer。 4e).为了从 (iv) 推导出 (v)，请观察在 Exer 的帮助下，$\mathscr{A}'$ 可以与由最大测度生成的 $\mathscr{M}(X)$ 的子空间进行识别。 4e).要从 (v) 推导出 (vi)，请将分解引理应用于 Riesz 空间 $\mathscr{A}'$ 和 Exer。 4f）。最后，要从 (vi) 推导出 (i)，请考虑映射 $f \mapsto S(f)(x)$ 对于 $f \in \mathscr{P}$ 和 $x \in X$，并使用 Exer。 4 e).) b) 当a)的条件满足时，证明对于每个函数$f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$，映射$x \mapsto \beta_x(f)$都处于闭包中，对于$X$一致收敛的拓扑，有界函数的集合在$X$是两个上半连续函数的差（利用$\mathscr{P}$在$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$中的总和）；因而，对于 $X$ 上的每一个测量，映射都是可测量的。 对于$X$上的每个正测量$\mu$，唯一的最大测量$\nu \succ \mu$由$\nu = \int \beta_x d\mu(x)$（cf.章节V）给出。 c) 当a)的条件满足并且$X$在加法*可度量*中时，表明对于每个$x \in X$，$\beta_x$是质量1和重心$x$的唯一正测量$\mu$，使得$\mu(X - L) = 0$，其中$L$ 是极值点的集合 $\mathrm{Ch}_{\mathscr{A}}(X)$（如第 1 条中所述）。 d) 当a)的条件满足时，证明以下性质是等价的： $\alpha)$集合$L = \mathrm{Ch}_{\mathscr{A}}(X)$已关闭，其他字$\check{S}_{\mathscr{A}}(X) = \mathrm{Ch}_{\mathscr{A}}(X)$。 $\beta)$ 对于每个函数 $f \in \mathscr{P}$，$S(f)$到$\overline{L}$中的限制是连续的。 $\gamma)$ 对于每个函数 $f \in \mathscr{P}$，函数 $S(f)$ 在 $X$ 上连续。 $X$到$\mathscr{M}_+(X)$的$\delta)$映射$x \mapsto \beta_x$（配备模糊拓扑）是连续的。 （为了表明 $\alpha$）蕴含$\beta)$，请观察 $L$ 中的 $\beta_x = \varepsilon_x$。为了证明$\beta)$蕴涵$\gamma)$，请使用$S(f)$是$\mathscr{A}$中函数的递减有向集合的下包络线（TVS，II, §5，第6条），Dini的定理和艾克瑟。 3 d) 应用于$\mathscr{A}$中的函数。要证明 $\gamma)$ 蕴含 $\delta)$，请使用 Exer。 4e).最后，要查看 $\delta)$ 蕴含 $\alpha)$，请使用 Exer。 4a).)