习题 7, § 7

令 $Y$ 为非空紧凑空间，$\mathscr{R}$ $\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$ 的线性子空间，包含为常量，分隔 $Y$ 的点并且是*格序的*（在其他字中，是一个 Riesz 空间）。

a) 令$\mathscr{N}$为$\mathscr{R}$的*极大*孤立子空间（第II, §1，Exer.4）；表明存在且仅有一个点 $y_0$，使得 $\mathscr{R}$ 上的正线性形式 $\varphi : f \mapsto f(y_0)$ 为*格子*（Ch. II, §2，Exer. 5 b））和 $\mathscr{N} = \varphi^{-1}(0)$。 （要看到$Y$中至少存在一个点，其中函数$f \geq 0$属于到$\mathscr{N}$的*所有*都是零，通过反证论证，通过证明在相反的情况下，考虑到Y和定义的紧致性$\mathscr{R}$ 中的序关系，可以有 $\mathscr{N} = \mathscr{R}$。 要证明 Y 的点中的集合 $Z(\mathscr{N})$，其中 $\mathscr{N}$ 中的所有函数都是零约化。 点，利用$\mathscr{R}$中$\mathscr{N}$是超平面（章节II, §2，Exer.5）以及$\mathscr{R}$分隔Y的点和包含常数的事实。）

b) 在a)的假设下，证明$y_0 \in \check{S}_{\mathscr{R}}(Y)$。 （设定$S = \check{S}_{\mathscr{R}}(Y)$、注，$\mathscr{C}(S; \mathbf{R})$的子空间$\mathscr{R}'$由$\mathscr{R}$中限制到函数的S形成）规范地同构于$\mathscr{R}$作为有序的向量空间 （Exer. 6 c））并且通过同构与$f \mapsto f|S$的逆，正线性形式$f \mapsto f(y_0)$在$\mathscr{R}'$上产生格子正线性形式；然后将 a) 应用于$\mathscr{R}'$。）

c) 对于每个孤立的子空间$\mathscr{N}_0 \neq \mathscr{R}$，证明存在最大的孤立子空间$\mathscr{N} \supset \mathscr{N}_0$。 （使用以下事实：如果孤立的子空间包含是常数函数 $\neq 0$，则它等于 $\mathscr{R}$。）

d) 当$\mathscr{N}$超过$\mathscr{R}$的最大孤立子空间的集合时，令Z为集合$Z(\mathscr{N})$的并（每个都减少到点）；证明$Z = \check{S}_{\mathscr{R}}(Y)$。 （首先证明 Z 是封闭的，注意如果 $y \notin Z$ 则 $\mathscr{R}$ 上的线性形式 $f \mapsto f(y)$ 不是格子的，因而（使用 Ch. II, §2，Exer. 5 b））对于所有点 $y'$ 来说，线性形式 $f \mapsto f(y')$ 也不是足够接近$y$。接下来，使用No. 3的第7条，通过证明每个函数$f_0 \in \mathscr{R}$在Y中至少在Z的一个点处达到其下确界$\alpha$；为此，设定$M = f_0^{-1}(\alpha)$，M上考虑形式$f_1 - f_2$函数$f \in \mathscr{R}$子空间$\mathscr{N}_0$和$f_1 \geq 0, f_2 \geq 0, f_1$和$f_2$零；证明 $\mathscr{N}_0$ 是孤立的并使用 c)。）