有限族负担中的和显然是一种负担，处理上封套的情况就足够了。 定义 1 的性质 a)、b)、c) 显然满足，仍有待建立 d)。 集合$p = \sup_\alpha p_\alpha$；然后，当记号为定义 1 d) 时，

对于，集合$T - A = B$，使得$p(\varphi_B) = 0$；那么

因此 $p(f \varphi_B) = 0$ 由 Def 的属性 $a), b), d)$ 得到。 1. 从c)得出$p(f) \leq p(f \varphi_A) + p(f \varphi_B) = p(f \varphi_A)$，最后由a)得出$p(f) = p(f \varphi_A)$。

*b) 相反，令 p 为 T 满足以下条件的负担： 1) 对于 T 的每个紧致子集 K，K 上存在一个正测度 $w_K$，使得 $p_K = (w_K)^\bullet$。 2) 对于每个函数$f \in \mathscr{F}_+(T)$，$p(f) = \sup_K p(f_{\varphi_K})$。 映射 $w : K \mapsto w_K$ 是 T 的正预测值，$p = w^\bullet$。

让我们证明$a$：令$g \in \mathscr{F}_+(K)$和$g^0$乘以$g$到$T$的零为扩张；那么，通过定义的诱发产权负担，

其中$L$运行超过$T$的紧凑子集的集合，或者仅仅运行包含$K$的集合。但如果$L$包含$K$，则$(w_L)^\bullet(g^0|L) = (w_K)^\bullet(g)$来自$g^0|L$是零在$K$之外（第V, §7, No. 1，命题1），这证明了第一个断言。因此

对于所有$f \in \mathscr{F}_+(T)$，并且（2）仅翻译公式（1）。

让我们转到 $b$：1) 中考虑的度量 $w_K$ 是唯一的（第 V, §1, No. 1 章）。让我们证明映射$K \mapsto w_K$是一个预测量：让$K$和$L$是两个紧凑的子集使得$K \subset L$，并让$\lambda$是$w_L$在$K$上引起的测度；一切都归结为展示$\lambda^\bullet = (w_K)^\bullet$。现在，$\lambda^\bullet = ((w_L)^\bullet)_K$（第 V, §7, No. 1 章，提案 1）；从$(w_L)^\bullet = p_L$开始，我们有$\lambda^\bullet = (p_L)_K = p_K = (w_K)^\bullet$。

让我们用$w$表示预测值$K \mapsto w_K$；从$p_K = (w_K)^\bullet = (w^\bullet)_K$开始，我们有$p(f_{\varphi_K}) = p_K(f_K) = (w^\bullet)_K(f_K) = w^\bullet(f_{\varphi_K})$。因此，由于$p$上的公式 (2) 和假设 2)，两个产权负担$p$和$w^\bullet$相等。

Q.E.D.

由于诱发的负担$(w^\bullet)_K$等于$(w_K)^\bullet$，因此简单地写成$w_K^\bullet$不会产生歧义。从现在开始我们就使用这个记号。

例如，令$T$中的$K$为紧集；每有紧集 $L \subset K$，就有关系

根据提案 2；因此 $w_K = v_K$（第 IV, §4, No. 10 章，第 19 号提案第 3 条），最后由定义预防措施$w = v$。

很明显，$W(\mu)$ 是预测值（第 V, §7, No. 2，命题 4），映射 $W$ 是线性的。 关系 $W(\mu) = 0$ 表示 $\mu$ 诱导 $T$ 中每个紧集的测度 0；那么$\mu(f) = 0$对应$f \in \mathscr{H}(T; \mathbf{C})$，因此$\mu = 0$，这证明$W$是单射的。仍有待证明 $W$ 是满射。由于每个预测值都是线性组合的正预测值，因此对于每个“正”预测值 $w$，一个正值 $\mu$ 就足以构造，从而使得 $w = W(\mu)$。令$f \in \mathscr{H}(T)$为给定的函数，令$L$为紧集包含$f$的支持度； 数 $w_L(f_L)$ 独立于$L$ 的选择，通过定义的诱导措施，因此可以集合 $\mu(f) = w_L(f_L)$；那么$\mu$是$\mathscr{H}(T)$上的正线性形式，即正测度。让我们验证一下$w = W(\mu)$；首先，关系$\mu^\bullet(f) = w_L^\bullet(f_L)$扩展到$f$是有限上半连续函数，且零在$L$之外。例如，令$M$是$L$的紧邻域，$\mathscr{H}$是$T$上连续函数的（递减有向）集合，$M$包含支持，即$\geq f$。然后（第 IV, §4, No. 4 章，第 5 号提案第 2 条）

另一方面，$w_M^\bullet(f_M) = w_L^\bullet(f_L)$，因为$f_M$在$M - L$上是零（第V, §7, No. 1章，提案1）。特别是，如果通过$\mathscr{H}_+(L)$的元素的0取$f$为扩张，那么这个公式表明$\mu_L = w_L$通过定义的诱导措施，因此确实是$W(\mu) = w$。

如果 $\mu$ 为正，则

对于每个$f \in \mathscr{F}_+(T)$（第V, §1，定义1和§7，提案1）。 关系 $|W(\mu)| = W(|\mu|)$ 是显而易见的（第 IV, §5, No. 7、引理 3）。

Q.E.D.

当$T$是*局部紧凑*时，我们从现在开始将通过双射$W$*认同*空间$\mathscr{M}(T; \mathbf{C})$和$\mathscr{P}(T; \mathbf{C})$。

(2)

让我们对每个 $f \in \mathscr{F}_+(T)$ 集合 $p(f) = \lambda^\bullet(f_L)$，并证明命题 2 b) 的条件 1) 和 2) 得到满足。第二个显然是满足的：确实，如果$K$包含$L$，则$p(f) = p(f \varphi_K)$。如果 $K \subset T$ 是紧的，并且如果 $h \in \mathscr{F}_+(K)$，那么

但$h^0|L$是扩张除$h_{K \cap L}$到$L$的0：因此最后一个表达式等于$(\mu_K)^\bullet(h)$，其中$\mu_K$是$K \cap L$的单射下的$\lambda|K \cap L$的像进入$K$（第1章） V, §6, No. 2，提案 2 和 §7, No. 1，提案 1)，以及 $p_K = (\mu_K)^\bullet$。因此，命题 2 b) 的条件 1) 也成立，$\mu$ 的存在性随之而来。

Q.E.D.

我们可以说 $\mu$ 是由 $\lambda$ 定义的 T 测度。特别是，对于 T 的每点 $x$，可以定义测量$\varepsilon_x$；它的特征是$(\varepsilon_x)^*(f) = f(x)$为$f \in \mathscr{F}_+(T)$。

集合 $h_n = \sum_{i=1}^n g_i$ 对于所有 $n \geq 1$。对于 T 的每个紧凑子集 K，

由第 2 章的提案 2将V, §1, No. 1应用于紧凑空间K。对于T的紧凑子集的递增有向集合，经过到极限，可得

现在，$fg$是递增序列$(fh_n)_{n \geq 1}$、从而$\mu^\bullet(fg) = \lim_{n \to \infty} \mu^\bullet(fh_n)$的极限；前面的公式则立即暗示(4)。

特别是

在可测量函数或集合以及扩展的性质中，如上文 Hausdorff 空间所示，我们还引用了第 1 章的第 12 章提案。 IV, §5, No. 8（$\mu$-紧集的密集族）。因此，函数 $f$ 和值在拓扑中

(1) 该推论的证明对于不可度量局部紧致空间 (GT, IX, §6, No. 9, Th. 5) 中的 Souslin 集合无需修改即可有效。

空间（Hausdorff 与否）是 $\mu$ 可测的，当且仅当 T 的紧凑子集 K 的集合，使得 $f_K$ 是连续的，是$\mu$-稠密的（*loc.cit.*，No. 10，命题 15）。

b) 设H为函数$\geqslant 0$的递减有向集合，它们在T的每个紧致子集上是上半连续的。如果H中存在函数$h_0$使得$\mu^\bullet(h_0) < +\infty$，则

对于每个紧集 $K \subset T$，我们都有情况 a)

如果是 b)

根据 No. 2 的第 2 条提案和第 8 章的第 8 条提案V, §1, No. 2。情况 a) 紧随其后，通过关于 K 的上界（No. 2，命题 2）。为了处理情况 b)，用 $\varepsilon$ 数 $> 0$ 和选择紧集 K 表示，使得 $\mu^\bullet(h_0 \varphi_K) \geqslant \mu^\bullet(h_0) - \varepsilon$。然后我们有 (No. 5，命题 4) $\mu^\bullet(h_0 \varphi_{C_K}) \leqslant \varepsilon$；对于每个函数 $h \in H$ 即 $\leqslant h_0$，我们因此有 $\mu^\bullet(h \varphi_{C_K}) \leqslant \varepsilon$，最后根据 No. 5 的第 4 条命题得到 $\mu^\bullet(h \varphi_K) \geqslant \mu^\bullet(h) - \varepsilon$。因而

因而(6)的左边是右边$\geqslant$；反之不等式显而易见，命题成立。

b) 令 $(F_\alpha)_{\alpha \in I}$ 为递减 $T$ 的封闭子集有向族，其中交 $F$。如果存在 $\alpha \in I$ 使得 $\mu^\bullet(F_\alpha)$ 是有限的，则$\mu^\bullet(F) = \inf_{\alpha \in I} \mu^\bullet(F_\alpha)$。

由前面的推论，存在最大的局部可忽略的开集合；这证明了以下定义的合理性：

如果族 $(\lambda_\alpha)$ 在 $\mathscr{M}(T)$ 中有界，那么 $p$ 显然是局部有界的。相反，让我们假设 $p$ 是局部有界的，并证明它满足 No. 2 的命题 2 b) 的条件 1) 和 2)。对于 2)，这是由以下等式得出的：

另一方面，令K为紧集；负担$p_K$等于负担$(\lambda_\alpha^\bullet)_K$的上包络线，并且它是有界的，因为$p$是局部有界的。因此，措施$(\lambda_\alpha)_K$在$\mathscr{M}(K)$和$\lambda_K^\bullet = p_K$中承认最高值$\lambda_K$（第V, §1, No. 4章，第11条命题）。从而满足No. 2的命题2 b)的条件1)，因此在T上存在测度$\lambda$使得$\lambda^\bullet = p$；显然，$\lambda$是措施$\lambda_\alpha$的至高无上。