1) 如果 K 和 L 是 T 的紧凑子集，使得 $K \subset L$，则 $I(K) \leq I(L)$（“I 是递增”）。

2) 如果 K 和 L 是 T 的紧子集，则$I(K \cup L) \leq I(K) + I(L)$。

3) 如果K和L是T的不相交的紧子集，则$I(K \cup L) = I(K) + I(L)$（“I是可加的”）。

4) 对于T的紧凑子集的每个递减有向家庭$(K_\alpha)_{\alpha \in A}$，一个有$I(\bigcap_{\alpha \in A} K_\alpha) = \inf_{\alpha \in A} I(K_\alpha)$。

5) 对于每个 $x \in T$，存在 x 的邻域 V，使得

那么度量 $\mu$ 是唯一的。

$\mu$ 的唯一性源自 Cor。 § 1, No. 2 的第 2 号提案。上面的条件是必要的，前三个是明显的方式，最后一个是因为$\mu^\bullet$是一个局部有界的负担，而条件4）是由Cor. § 1, No. 6 的第 5 号提案。

为了证明这些条件是足够的，我们首先处理 T 是紧的情况。

并令 $\Phi$ 为 $A \subset T$ 的集合，使得 $J(A) + J(\mathbf{C}A) = l$。 集合 $\Phi$ 是包含 $\mathscr{K}(T)$ 的氏族，$\Phi$ 上的函数 $J$ 是递增和相加。

很明显，$J$是递增集合函数，延伸$I$，并且每$A \subset T$延伸$J(A) + J(\mathbf{C}A) \leq l$。

令$K$和$S$为$T$中的两个紧集；我们首先要证明

在考虑$I$至$\mathscr{K}(S)$和$J$至$\mathfrak{P}(S)$的限制时，立即将约化对应于$S = T$的情况。由于$T$是正规的，$K$是递减有向邻域的交，并且条件4)意味着对于每个$\varepsilon > 0$，存在$K$的紧凑邻域$H$使得$I(H) \leq I(K) + \varepsilon$。设$L$为$T - H$的闭包； $L$ 是紧凑的，$L \cap K = \varnothing$ 和 $H \cup L = T$，因此 $l = I(H \cup L) \leq I(H) + I(L) \leq I(K) + I(L) + \varepsilon$ (条件 2))、从而关系 $J(K) + J(\mathbf{C}K) \geq I(K) + I(L) \geq l - \varepsilon$。由于 $\varepsilon$ 是任意的，$J(K) + J(\mathbf{C}K) = l$。这就证明了公式(2)，以及包含$\mathscr{K}(T) \subset \Phi$。

现在让我们证明$\Phi$是一个氏族。由于$\Phi$在通向补体的过程中显然是稳定的，因此足以证明如果$A_1$和$A_2$表示$\Phi$的元素，则$A_1 \cup A_2 \in \Phi$，或者再次

用$\varepsilon$数$> 0$表示，对于$i = 1, 2$，令$K_i$为包含在$A_i$中的紧集，以及包含在$\mathbf{C}A_i$中的$L_i$紧集，使得

集合$M_1 = K_1 \cup L_1$； 关系$l = J(M_1) + J(\mathbf{C}M_1)$ 和

暗示$J(\mathbf{C}M_1) \leq 2\varepsilon$。那么如果$S$是$T$的紧致子集，关系 (2)（应用于$K = M_1$）意味着$J(S) \leq J(M_1 \cap S) + 2\varepsilon$，从而

让我们添加通过制作$S = K_2$和$S = L_2$获得的不等式，并考虑到不等式$J(K_2) + J(L_2) \geq l - 2\varepsilon$以及$K_1 \cap K_2$，$L_1 \cap K_2$和$K_1 \cap L_2$是三个不相交的紧集包含在$A_1 \cup A_2$。用这三个紧集中的$C$并表示，可以得出：

鉴于$\varepsilon$的任意性，从而立即得到所需的公式（3）。成立后，前面的不等式意味着 $J(C) \geq J(A_1 \cup A_2) - 6\varepsilon$；如果$A_1$和$A_2$是不相交的，则$C$是$K_1 \cap L_2 \subset A_1$和$K_2 \cap L_1 \subset A_2$的并，由此推导出$J(A_1 \cup A_2) \leq J(A_1) + J(A_2)$。反之不等式显而易见，$J$确实是$\Phi$的相加，引理成立。

对于 $T$ 是紧致的情况，让我们完成定理的证明。令$\mathscr{E}(\Phi)$为$T$上$\Phi$步函数的向量空间，配备一致收敛的拓扑（Ch.IV, §4, No. 9，Def.4）；我们将再次用$J$表示与加性函数$J$相关的$\mathscr{E}(\Phi)$上的正值线性形式（参见第18号提案）。由于$J(T) = l$，$J$是连续的并且有范数$l$。令$\mathscr{H}$为$\mathscr{E}(\Phi)$对于拓扑一致收敛的闭包；我们立即验证$J$可以通过连续性扩展到$\mathscr{H}$上的*正*线性形式，再次表示为$J$。由于 $\mathscr{H}$ 包含于 $\mathscr{C}(T)$（前述，No. 10，第 19 号提案），$J$ 至 $\mathscr{C}(T)$ 中的限制是积极措施 $\mu$。还需要证明对于 $T$ 的每个紧凑子集 $K$，$\mu^\bullet(K) = I(K)$。现在，我们有$\mu^\bullet(K) = \inf_{f \in S_K} \mu^\bullet(f)$，其中$S_K$表示$\mathscr{C}(T)$的元素中的集合，即$\geq \varphi_K$（§ 1, No. 6，命题5）。由于$J(f) = \mu^\bullet(f)$对应$f \in \mathscr{C}(T)$，显然足以证明$J(K) \geq \inf_{f \in S_K} J(f)$。如引理 1 的证明，令$H$ 为$K$ 的紧邻域，使得$J(H) \leq J(K) + \varepsilon$，并让$f$ 为$T$ 上的连续函数，介于0 和1 之间，等于$K$ 上的1，并且0 在 $H$ 之外（GT，IX, §4, No. 1，提案 1）。然后

$\varepsilon$是任意的，需要的不等式得证，当$T$紧致时，定理成立。

现在让我们讨论一般情况。对于$T$中的每个紧集$L$，令$I_L$为$I$到$\mathfrak{K}(L)$的限制。通过刚刚处理的特殊情况，$L$上存在唯一的测度$\mu_L$，使得每个紧集$K \subset L$都有$\mu_L(K) = I_L(K)$。令$L'$ 为紧集包含在$L$ 中；对于每个紧集$K \subset L'$，我们有$(\mu_L)_{L'}^\bullet(K) = \mu_{L'}^\bullet(K) = \mu_{L'}^\bullet(K)$，因此$\mu_{L'} = (\mu_L)_{L'}$； 映射 $\mu : L \mapsto \mu_L$ 是预测值。 条件 5) 表示$\mu$是一个测度，关系$I(K) = \mu^*(K)$对于所有紧致$K \subset T$是显而易见的。

这三个条件是必要的：因为，$\mathscr{B}(T)$上的映射$A \mapsto \mu^*(A)$是可数累加的（§ 1, No. 5，Prop.4的Cor.），局部以定义的度量为界（§ 1, No. 2，Def.5），并且内部正则注 3 个，共 § 1, No. 2。

我们走向存在。可知，I～$\mathscr{K}(T)$的限制满足Th的叙述的条件1)、2)、3)、5)。 1;让我们证明 4) 也满足。令K为T的紧子集，递减的有向族$(K_\alpha)_{\alpha \in A}$的紧集的交，并令$\varepsilon$为数$> 0$； I 是局部有界的，存在 K 的开邻域 V，使得 $I(V) < +\infty$，然后存在指标 $\alpha$，使得 $K_\alpha \subset V$；如有必要，更改记号，我们可以假设$K_\alpha \subset V$适用于所有$\alpha \in A$。根据I的内部正则，存在紧集$L \subset V - K$使得$I(L) \geq I(V - K) - \varepsilon$；由于L不与K相交，因此存在指标$\alpha$使得$L \cap K_\alpha = \varnothing$，然后有$I(V - K_\alpha) \geq I(L) \geq I(V - K) - \varepsilon$。从$K_\alpha \subset V$开始，$I(K_\alpha) \leq I(K) + \varepsilon$和条件4)得到验证。

由 Th. 1，存在一个测度$\mu$，使得$\mu^\bullet(K) = I(K)$对于所有$K \in \mathscr{K}(T)$。 内部集合函数$\mu^\bullet$和$I$在$\mathscr{B}(T)$上的正则性意味着$\mu^\bullet(A) = I(A)$对于所有$A \in \mathscr{B}(T)$，并且存在性被证明。 $\mu$的唯一性源自Th的唯一性断言。 1.

令 T 为 Lindelöf 空间，即氡气，并令 I 为部落 $\mathscr{B}(T)$ 上的集合函数，该族为正数、可加性且局部有界。开集合V使得$I(V) < +\infty$形式T的覆盖，从中可以提取可数覆盖$(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$。每 $n \in \mathbf{N}$ 集合 $G_n = V_0 \cup V_1 \cup \cdots \cup V_n$； 集合 $H_0 = G_0$ 和 $H_n = G_n - G_{n-1}$ $n \geq 1$；最后，在$\mathscr{B}(T)$上用$I_n$集合函数$A \mapsto I(A \cap H_n)$表示，这显然是可数可加且有界的。从 T 的集合 $H_n$ 形式划分开始，我们有 $I = \sum_n I_n$。 空间 T 是氡气，对于每个$n \in \mathbf{N}$，T 上存在一个有界测度$\mu_n$，使得$\mu_n^\bullet(A) = I_n(A)$ 对于所有 $A \in \mathscr{B}(T)$；因此也$\sum_n \mu_n^\bullet(A) = I(A)$。由于 I 是局部有界的，所以$(\mu_n)$族是可求和的（§ 1, No. 7，命题 7）；如果 $\mu$ 表示 $\sum_n \mu_n$，则对于所有 $A \in \mathscr{B}(T)$，我们都有 $\mu^\bullet(A) = I(A)$，因此 I 是内部正则。在其他字中，T是强氡气。

回想一下，拓扑空间 T 的子集 A 被称为“通用可测”，如果 A 对于 T 上的每个测度 $\mu$ 都是 $\mu$ 可测的。这相当于说，A 对于 T 上的每个测度 $\mu$ 都是 $\mu$ 可测的，且有*紧凑支持* （§ 1, No. 8，提案 9）。

(1) 回忆一下 (GT, I, §9, Exer. 14; TG, IX, 附录 I) Lindelöf 空间 是一个拓扑空间 T，使得 T 包含的每个开覆盖都是可数覆盖。

a) 假设 T 是氡气空间。然后，对于在 $\mathscr{B}(X)$ 上定义的每个函数 I ，它是正的、可数可加的且有界的，有

此外，T 在 X 中普遍可测。

b) 相反，假设X是氡空间并且T在X中普遍可测；那么 T 是氡气空间。

让我们证明a）。我们用$\alpha$表示(6)的右侧；对于每个$n \in \mathbf{N}$，都存在集合 $C_n \in \mathscr{B}(X)$ 包含于 T，因此$I(C_n) \leq \alpha + 2^{-n}$。 设定$C = \bigcap_n C_n$，然后我们有$T \subset C$，$I(C) = \alpha$。如果$A \in \mathscr{B}(T)$，让我们选择一个X的Borel集合B，这样$A = B \cap T$（GT，IX, §6, No. 3）和集合$J(A) = I(B \cap C)$。这个数不依赖于B的选择，因为如果$B'$是X中的第二个Borel集合，使得$A = B' \cap T$，那么$B \cap C$和$B' \cap C$的区别仅在于包含在集合M中的Borel集合M $C - T$，以及$I(M) = 0$乘构造乘C。显然，每紧集 $K \subset T$ 就有 $J(K) = I(K)$。令$(A_n)$为T的Borel集合的序列，成对不相交的，并且对于每个$n$，令$B_n$为X的Borel集合，使得$B_n \cap T = A_n$。 替换$B_n$乘以$B_n - \left( \bigcup_{k < n} B_k \right)$，如果有必要，我们可以假设集合$B_n$是成对的不相交的。 集合$A = \bigcup_n A_n$和$B = \bigcup_n B_n$；然后

因而，J 是可数加法，且以 $\mathscr{B}(T)$ 为界函数。由于 T 由假设一个氡空间构成，因而 T 上存在有界测度 $\mu$，使得对于每个 $A \in \mathscr{B}(T)$ 都有 $J(A) = \mu^\bullet(A)$；因而

定义共 $\mu^\bullet$。 公式(6)由此成立。

现在让我们证明 T 是普遍可测的。令 $\lambda$ 为 X 上的有界测度；前面的论点可以应用于$\mathscr{B}(X)$上的集合函数$I : A \mapsto \lambda^\bullet(A)$，因此存在T的紧凑子集的序列$(K_n)$，使得（与上面的记号）

集合$K' = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} K_n$； $K'$ 是 $X$、$K' \subset T \subset C$、$\lambda^*(K') = \lambda^*(C)$ 中的 Borel，因此这三个集合仅相差 $\lambda$（可忽略不计）集合，因而 $T$ 是 $\lambda$ 可测的。这样就完成了 a) 的证明。

让我们转到b)。假设$X$是氡气空间，并且$T$在$X$中普遍可测。令 $I$ 为 $\mathscr{B}(T)$ 上的正函数，它是可数可加且有界的； 函数 $A \mapsto I(A \cap T)$ 在 $\mathscr{B}(X)$ 上则为正数、可数加法且有界，因此在 $X$ 上存在有界测度 $\nu$，使得 $I(A \cap T) = \nu^*(A)$ 对于所有 $A \in \mathscr{B}(X)$。现在，$T$是$\nu$可测量的；前面的关系表明，对于$X$的每个紧凑子集$K$，$\nu^*(K) = 0$是$T$的不相交的，因而$\nu$集中在$T$。因而，对于 $X$ 的每个 Borel 集合 $A$，我们都有 $I(A \cap T) = \nu^*(A \cap T) = \mu^*(A \cap T)$，其中 $\mu$ 是$\nu$ 在 $T$ 上引起的测度。最后，$I(B) = \mu^*(B)$对于每个集合$B \in \mathscr{B}(T)$（GT，IX, §6, No. 3，*注2*），并且$I$确实是内部正则。

因为，$T$在$X$中是普遍可测的。

令$T$为苏斯林空间；由于 $T$ 是 Lindelöf 空间（TG，IX，附录 I，命题 1 的 Cor.），(2) 足以证明 $T$ 是氡气（命题 1）。设 $I$ 是在 $\mathscr{B}(T)$ 上定义的函数，正数、可加性且有界。我们将扩展 $I$ $\mathscr{P}(T)$ 设定子集 $A$ $T$，

让我们证明这个扩张是$T$（GT，IX, §6, No. 9）上的*容量*。显然，关系$A \subset A'$意味着$I(A) \leq I(A')$。令$(A_n)$为$T$的子集、递增、序列，并令$A = \bigcup_n A_n$。 Borel 集合的集合使得包含$A_n$对于可数交是稳定的，对于每个$n$都存在一个Borel集合$B_n$使得$A_n \subset B_n$和$I(A_n) = I(B_n)$ （提案 2 的cf. 证明）。 集合$C_n = \bigcap_{p \geq n} B_p$； $C_n$ 是 Borel，$A_n \subset C_n \subset B_n$，因而 $I(A_n) = I(C_n)$。另一方面，序列$(C_n)$是递增。让 $C = \bigcup_n C_n$: 关系 $A \subset C$ 意味着

(2) 每个 Souslin 空间对于开集合都有一个可数基 (GT, IX, §6, No. 2, 命题 4)，因此是 Lindelöf (GT, I, §9, Exer. 14)。

从而等式$I(A) = \lim_n I(A_n)$是直接的。因而，I是一个容量。

如果T中$(H_n)$是闭集合的递减序列，显然是$I\left( \bigcap_n H_n \right) = \inf_n I(H_n)$。由此可见，T 的每个 Souslin 子集 F 都能够实现 I（TG，IX, §6, No. 10，命题 15）。特别是，T 的每个 Borel 集合 A 都是有能力的（*loc.cit.*，§6, No. 3，提案 10）。(3) 在其他字中，

其中 K 超过 A 中包含的紧集的集合；我们已经证明I是内部正则。