习题 1, § 3

令E为集合，$\Phi$是E的子集的家族，并且在$\Phi$上定义m加法集合函数。在 E 上用实数 $\Phi$-步函数的 $\mathscr{E}(\Phi)$ 向量空间表示，并在 $\mathscr{E}(\Phi)$ 上用 J 线性形式表示，这样对于所有 $A \in \Phi$ 都有 $J(\varphi_A) = m(A)$。

a) 每$A \in \Phi$，一个集合

证明对于A的所有有限划分$(A_i)_{1 \leq i \leq p}$到集合属于到$\Phi$，$|m|(A) = m_+(A) + m_-(A)$是形式$\sum_{i=1}^p |m(A_i)|$数集合的上确界。

b) 如果形式 $m(B)$ 的数集合和 $B \in \Phi, B \subset A$ 对于任意集合 $A \in \Phi$ 有界，则称 m 是“相对有界”。证明以下条件是等价的： $\alpha)$ m 是相对有界的； Riesz 空间 $\mathscr{E}(\Phi)$ 上的 $\beta)$ 线性形式 J 是相对有界的； $\gamma)$ m 是$\Phi$ 上两个正加法集合函数的差； $\delta)$ $|m|(A)$ 对于所有 $A \in \Phi$ 是有限的（围成一圈$\alpha$）$\Rightarrow \beta) \Rightarrow \gamma) \Rightarrow \delta) \Rightarrow \alpha)$。

c) 假设 m 是相对有界的。证明集合函数 $|m|, m_+$ 和 $m_-$ 是可加的，并且$m = m_+ - m_-$（利用第 II, §2, No. 2 章的第 1 章）。此外，如果$m'$和$m''$在$\Phi$上可加且为正集合函数，使得$m = m' - m''$，则$m' \geq m_+$和$m'' \geq m_-$。

d) 如果 $m(A) = \sum_{n \geq 1} m(A_n)$ 对于集合 $A \in \Phi$ 的每个可数划分 $(A_n)_{n \geq 1}$ 到集合属于到 $\Phi$，则可以说 m 是“可数相加”。证明这个条件表示$\lim_{n \to \infty} m(A_n) = 0$对于$\Phi$的元素的每个递减序列$(A_n)_{n \geq 1}$使得$\bigcap_{n \geq 1} A_n = \emptyset$。如果 m 是可数可加的，则证明 $|m|$ 是可数可加的。