习题 17, § 3

设$T$为拓扑空间。 a) 设$m$是$\mathscr{B}(T)$到$\mathbf{R}_+$的可数加法映射。假设存在$T$的Borel子集的序列$(T_n)_{n \in \mathbf{N}}$，使得$T = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} T_n$、$m(T_0) = 0$和$T$的子空间$T_n$对于每个$n \geq 1$来说是氡气。证明$T$上存在有界正测度$\mu$，使得$m(A) = \mu^*(A)$对于$T$的每个Borel子集$A$（可以约化到$T_n$成对不相交的的情况） 应用 No. 3 提案 2 的 Cor.）。 b) 扩展 $n \geq 1$ 的集合 $T_n$ 不再假设 Borel 而只是在 $T$ 中普遍可测（如 No. 3 的命题 2 中所述）。 c) 可度量紧致子空间的序列并的每个拓扑空间都是氡。