Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

附件

希尔伯特空间的补充

1. 二次方形式相对于另一个(1)^{(1)} 的迹

在这个数中，我们用EE表示实数向量空间，用Q,HQ, H表示EE上的两个正二次形式。存在两个对称的双线性形式、(x,y)↦(x∣y)Q(x, y) \mapsto (x|y)_Q和(x,y)↦(x∣y)H(x, y) \mapsto (x|y)_H，其特征为

Q(x)=(x∣x)Q,H(x)=(x∣x)H Q(x) = (x|x)_Q , \quad H(x) = (x|x)_H
对于所有x∈Ex \in E。

一称为 Q 相对于 H* 的迹，一用 Tr⁡(Q/H)\operatorname{Tr}(Q/H) 表示正实数，无论是否有限，定义如下：

a) 如果存在x∈Ex \in E使得H(x)=0H(x) = 0和Q(x)≠0Q(x) \neq 0，则有一个集合Tr⁡(Q/H)=+∞\operatorname{Tr}(Q/H) = +\infty。

b) In the contrary case, Tr⁡(Q/H)\operatorname{Tr}(Q/H) is the supremum of the set of numbers of the form ∑i=1pQ(ei)\sum_{i=1}^p Q(e_i), where (e1,…,ep)(e_1, \ldots, e_p) runs over the set of finite sequences of elements of EE orthonormal for HH.

令EE为实希尔伯特空间，QQ为EE上的正二次方形式。 集合 H(x)=∥x∥2H(x) = \|x\|^2 对于所有 x∈Ex \in E；那么HH是EE上的正二次方形式。如果 Tr⁡(Q/H)\operatorname{Tr}(Q/H) 是有限的，则可以说 QQ 是*核*。对于范数 1 中的每一个 x∈Ex \in E，有 Q(x)≤Tr⁡(Q/H)Q(x) \leq \operatorname{Tr}(Q/H)、从而 Q≤Tr⁡(Q/H)⋅HQ \leq \operatorname{Tr}(Q/H) \cdot H；特别是，每个核形式QQ都是连续的。

注 09T5

— 1) 对于EE的每个子空间FF，用QQ至FF的QFQ_F限制表示，并用HFH_F表示HH。那么Tr⁡(QF/HF)≤Tr⁡(Q/H)\operatorname{Tr}(Q_F/H_F) \leq \operatorname{Tr}(Q/H)和Tr⁡(Q/H)\operatorname{Tr}(Q/H)就是F⊂EF \subset E有限维的数Tr⁡(QF/HF)\operatorname{Tr}(Q_F/H_F)的上界。

2) 令E1E_1为实向量空间、Q1Q_1和H1H_1在E1E_1上的两个正二次形式，以及π:E→E1\pi : E \to E_1为满射线性映射。如果Q=Q1∘πQ = Q_1 \circ \pi和H=H1∘πH = H_1 \circ \pi，则Tr⁡(Q/H)=Tr⁡(Q1/H1)\operatorname{Tr}(Q/H) = \operatorname{Tr}(Q_1/H_1)。

(1) 参见。 TVS，V, §4, No. 9。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 V § 4. 。整合积极的点措施

被以下引用 习题 6, 附录 0

命题 1 09T6

— *假设 E 是有限维的，H 是非简并的。

被以下引用 3

被以下引用 习题 6, 附录 0, 注 3, 命题 2

a) E 中存在自同态 u，其特征在于 (x∣y)Q=(u(x)∣y)H(x|y)_Q = (u(x)|y)_H 对于 E 中的 x、y。

b) Tr⁡(Q/H)=Tr⁡(u)\operatorname{Tr}(Q/H) = \operatorname{Tr}(u)。

c) Tr⁡(Q/H)=∑i=1mQ(ei)\operatorname{Tr}(Q/H) = \sum_{i=1}^m Q(e_i) 对于 H 的 E 正交的每个基* (e1,…,em)(e_1, \ldots, e_m) *。

a) 从以下事实得出：双线性形式 (x,y)↦(x∣y)H(x, y) \mapsto (x|y)_H 是非简并的。 H 的 E 正交中的每个序列都可以补全为 H 的 E 正交的基。因而，Tr⁡(Q/H)\operatorname{Tr}(Q/H) 是形式 ∑i=1mQ(ei)\sum_{i=1}^m Q(e_i) 的数的集合在所有 E 正交的基 (e1,…,em)(e_1, \ldots, e_m) 上的上界H. 为了证明 b) 和 c)，只需证明对于此类的每个基都有 ∑i=1mQ(ei)=Tr⁡(u)\sum_{i=1}^m Q(e_i) = \operatorname{Tr}(u)。 集合 aij=(u(ei)∣ej)H=(ei∣ej)Qa_{ij} = (u(e_i)|e_j)_H = (e_i|e_j)_Q 1≤i,j≤m1 \leq i, j \leq m；然后u(ei)=∑j=1maijeju(e_i) = \sum_{j=1}^m a_{ij} e_j换1≤i≤m1 \leq i \leq m，从而

Tr⁡(u)=∑i=1maii=∑i=1m(ei∣ei)Q=∑i=1mQ(ei). \operatorname{Tr}(u) = \sum_{i=1}^m a_{ii} = \sum_{i=1}^m (e_i|e_i)_Q = \sum_{i=1}^m Q(e_i).

Q.E.D.

命题 2 09T7

— 假设 E 是有限维的。存在基 (e1,…,en)(e_1, \ldots, e_n) E 和整数 m 且 0≤m≤n0 \leq m \leq n *这样

H⁡(∑i=1ntiei)=∑i=1mti2 \operatorname{H}\left( \sum_{i=1}^n t_i e_i \right) = \sum_{i=1}^m t_i^2
引用了 1

引用了 命题 1

对于t1,…,tnt_1, \ldots, t_n*真实。此外，如果关系* H⁡(x)=0\operatorname{H}(x) = 0 意味着 Q(x)=0Q(x) = 0 对于 x∈Ex \in E，*则* Tr⁡(Q/H)=∑i=1mQ(ei)\operatorname{Tr}(Q/H) = \sum_{i=1}^m Q(e_i)。

存在与 H 正交的 E 的基 (e1′,…,en′)(e'_1, \ldots, e'_n)。可以假设基的索引方式为 1≤i≤m1 \leq i \leq m 为 H⁡(ei′)>0\operatorname{H}(e'_i) > 0，H⁡(ei′)=0\operatorname{H}(e'_i) = 0 为 m<i≤nm < i \leq n。然后集合ei=ei′/H⁡(ei′)1/2e_i = e'_i / \operatorname{H}(e'_i)^{1/2}代表1≤i≤m1 \leq i \leq m，ei=ei′e_i = e'_i代表m<i≤nm < i \leq n； 关系 (1) 满足。

令F为em+1′,…,en′e'_{m+1}, \ldots, e'_n生成的E的子空间；它是x∈Ex \in E的集合使得H⁡(x)=0\operatorname{H}(x) = 0。用E的π\pi典范映射到E1=E/FE_1 = E/F表示。由于Q和H在F上零，因此在E1E_1上存在两个正二次形式、Q1Q_1和H1H_1，使得Q=Q1∘πQ = Q_1 \circ \pi和H=H1∘πH = H_1 \circ \pi。此外，(π(e1),…,π(em))(\pi(e_1), \ldots, \pi(e_m)) 是H1H_1 的E1E_1 正交的基，因而H1H_1 是非简并的。

根据提案 1 和 注 2，

Tr⁡(Q/H)=Tr⁡(Q1/H1)=∑i=1mQ1(π(ei))=∑i=1mQ(ei). \operatorname{Tr}(Q/H) = \operatorname{Tr}(Q_1/H_1) = \sum_{i=1}^m Q_1(\pi(e_i)) = \sum_{i=1}^m Q(e_i).

Q.E.D.

注 3 09T8

— 假设 E 有限维且 H 非简并。令(e1,…,en)(e_1, \ldots, e_n)为E的基。集合q=((ei∣ej)Q)1≤i,j≤nq = ((e_i|e_j)_Q)_{1 \leq i,j \leq n}和h=((ei∣ej)H)1≤i,j≤nh = ((e_i|e_j)_H)_{1 \leq i,j \leq n}。根据命题1中的记号，E的基(e1,…,en)(e_1, \ldots, e_n)的uu的矩阵等于h−1qh^{-1}q、从而

(2)

Tr⁡(Q/H)=Tr⁡(h−1q)=Tr⁡(qh−1). \operatorname{Tr}(Q/H) = \operatorname{Tr}(h^{-1}q) = \operatorname{Tr}(qh^{-1}).

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 命题 1

被以下引用 习题 1, 附录 0, 习题 2, 附录 0

2. 希尔伯特-施密特映射(2)^{(2)}

令 E 为实希尔伯特空间，其中标量乘积表示为 (x∣y)(x|y)。 E 在其对偶上存在等距 jEj_E，其特征为公式

(3)

(x∣y)=⟨x,jE(y)⟩for x,y in E (x|y) = \langle x, j_E(y) \rangle \quad \text{for } x, y \text{ in E}
（TVS，V, §1, No. 7，Th.3）。

令E1E_1和E2E_2是两个实希尔伯特空间和uu，E1E_1到E2E_2的连续线性映射。我们将E2E_2的连续线性映射u∗=jE1−1∘tu∘jE2u^* = j_{E_1}^{-1} \circ {}^t u \circ j_{E_2}称为E1E_1的*伴随。 映射 u∗u^* 的特点是关系

(4)

(u(x1)∣x2)=(x1∣u∗(x2))for x1∈E1, x2∈E2. (u(x_1)|x_2) = (x_1|u^*(x_2)) \quad \text{for } x_1 \in E_1,\ x_2 \in E_2.

如果 vv 是 E2E_2 的连续线性映射到希尔伯特空间 E3E_3，则有 (v∘u)∗=u∗∘v∗(v \circ u)^* = u^* \circ v^*。

令E1E_1和E2E_2是E1E_1到E2E_2的两个实希尔伯特空间和uu线性映射。一个定义两个正二次形式 H 和 Q 在 E1E_1 乘公式

H(x)=∥x∥2,Q(x)=∥u(x)∥2(x∈E1). H(x) = \|x\|^2,\quad Q(x) = \|u(x)\|^2 \quad (x \in E_1).

命题 3 09T9

假设u是连续的。令 (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} 为 E1E_1 的正交基，并且 (fj)j∈J(f_j)_{j \in J} 为 E2E_2 的正交基。然后

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 V § 4. 。整合积极的点措施

被以下引用 习题 2, 附录 0, 习题 9, 附录 0

Tr⁡(Q∣H)=∑i∈I∥u(ei)∥2=∑j∈J∥u∗(fj)∥2=∑i∈I∑j∈J(u(ei)∣fj)2. \operatorname{Tr}(Q|H) = \sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2 = \sum_{j \in J} \|u^*(f_j)\|^2 = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} (u(e_i)|f_j)^2.

(2) 参见。 TVS，V, §4, No. 7。

对于每个x∈E1x \in E_1，我们有∥x∥2=∑i∈I(x∣ei)2\|x\|^2 = \sum_{i \in I} (x|e_i)^2，同样，对于每个y∈E2y \in E_2，我们有∥y∥2=∑j∈J(y∣fj)2\|y\|^2 = \sum_{j \in J} (y|f_j)^2。因而，

∑i∈I∥u(ei)∥2=∑i∈I∑j∈J(u(ei)∣fj)2=∑j∈J∑i∈I(ei∣u∗(fj))2=∑j∈J∥u∗(fj)∥2. \sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2 = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} (u(e_i)|f_j)^2 \\ = \sum_{j \in J} \sum_{i \in I} (e_i|u^*(f_j))^2 \\ = \sum_{j \in J} \|u^*(f_j)\|^2 .

特别是，数∑i∈I∥u(ei)∥2\sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2独立于E1E_1的正交基(ei)i∈I(e_i)_{i \in I}。

集合t=Tr⁡(Q∣H)t = \operatorname{Tr}(Q|H)。对于 II 中的每有限子集 I′I'，按定义

∑i∈I′∥u(ei)∥2=∑i∈I′Q(ei)≤t, \sum_{i \in I'} \|u(e_i)\|^2 = \sum_{i \in I'} Q(e_i) \leq t ,

从而∑i∈I∥u(ei)∥2≤t\sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2 \leq t。令 (e1′,…,ep′)(e'_1, \ldots, e'_p) 为 EE 中的有限正交序列。这个序列可以完成为E1E_1的正交基(eα′)α∈A(e'_\alpha)_{\alpha \in A}。然后

∑α=1p∥u(eα′)∥2≤∑α∈A∥u(eα′)∥2=∑i∈I∥u(ei)∥2 \sum_{\alpha=1}^p \|u(e'_\alpha)\|^2 \leq \sum_{\alpha \in A} \|u(e'_\alpha)\|^2 = \sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2

并且，经过对所有(e1′,…,ep′)(e'_1, \ldots, e'_p)的最高，得到不等式t≤∑i∈I∥u(ei)∥2t \leq \sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2。我们就这样建立了等式t=∑i∈I∥u(ei)∥2t = \sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2。

Q.E.D.

有人说，如果E1E_1上的正二次方形式Q:x↦∥u(x)∥2Q : x \mapsto \|u(x)\|^2是核的话，uu是E1E_1到E2E_2的*希尔伯特-施密特映射*。当这种情况发生时，就有 Q≤Tr⁡(Q/H)⋅HQ \leq \operatorname{Tr}(Q/H) \cdot H，因而 uu 是连续的并且

∥u∥≤Tr⁡(Q/H)1/2. \|u\| \leq \operatorname{Tr}(Q/H)^{1/2} .

设u:E1→E2u : E_1 \to E_2为连续的线性映射。根据命题 3，当且仅当存在 E1E_1 的正交基 (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} 使得 ∑i∈I∥u(ei)∥2<+∞\sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2 < +\infty 时，uu 是希尔伯特-施密特映射。在这种情况下，E1E_1 的每个正交基都具有相同的性质。此外，如果uu是希尔伯特-施密特映射，那么根据公式∑i∈I∥u(ei)∥2=∑j∈J∥u∗(fj)∥2\sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2 = \sum_{j \in J} \|u^*(f_j)\|^2（命题3），它的伴随u∗u^*也是希尔伯特-施密特映射。

习题

习题

参见习题附录 0。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。