习题 9, 附录 0

设E和F是两个实希尔伯特空间。

a) 证明在$\mathscr{L}(E; F)$中存在$E \otimes_2 F$的连续线性映射$\varphi$，其特征为E中$x, x'$和F中$y$的$\varphi(x \otimes y)(x') = (x|x') \cdot y$。证明$\varphi$有范数1，$\varphi(E \otimes F)$是将 E 的有限秩连续线性映射的集合转化为 F。

b) 证明 $\varphi$ 是 $E \otimes_2 F$ 的双射到 Hilbert–Schmidt 的集合 HS(E, F) 将 E 的线性映射变成 F（利用 Exer. 8 c）和命题 3）。为 HS(E, F) 配备从 $E \otimes_2 F$ 通过双射 $\varphi$ 推导出的希尔伯特空间结构； 相应的范数表示为$\|u\|_2$。让$u \in \mathrm{HS}(E, F)$；一个定义正二次形式$Q_u$和H在E上通过$Q_u(x) = \|u(x)\|^2$和$H(x) = \|x\|^2$。显示$\|u\|_2^2 = \mathrm{Tr}(Q_u/H)$。

c) 令$E_1$和$F_1$为两个实希尔伯特空间，且$u : E_1 \to E, v : F \to F_1$连续线性映射。令$\varphi_1$为$E_1 \otimes_2 F_1$到$\mathrm{HS}(E_1, F_1)$的同构，以类似于$\varphi$的方式定义。证明 $v \circ \varphi(t) \circ u = \varphi_1((u^* \otimes v)(t))$ 对于所有 $t \in E \otimes_2 F$。由此推论，对于每个 E 到 F 的 Hilbert–Schmidt 映射 w，$E_1$ 到 $F_1$ 的线性映射 $v \circ w \circ u$ 是 Hilbert–Schmidt，并且$\|v \circ w \circ u\|_2 \leq \|v\| \cdot \|w\|_2 \cdot \|u\|$。