Bài tập 9, Phụ lục 0

Cho E và F là hai không gian Hilbert thực.

a) Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục $\varphi$ của $E \otimes_2 F$ vào $\mathscr{L}(E; F)$ được đặc trưng bởi $\varphi(x \otimes y)(x') = (x|x') \cdot y$ với $x, x'$ trong E và $y$ trong F. Chứng minh rằng $\varphi$ có chuẩn 1, và rằng $\varphi(E \otimes F)$ là tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục hạng hữu hạn của E vào F.

b) Chứng minh rằng $\varphi$ là một song ánh của $E \otimes_2 F$ lên tập hợp HS(E, F) các ánh xạ tuyến tính Hilbert–Schmidt của E vào F (sử dụng Bài tập 8 c) và Mệnh đề 3). Trang bị cho HS(E, F) cấu trúc không gian Hilbert suy ra từ cấu trúc của $E \otimes_2 F$ nhờ song ánh $\varphi$; chuẩn tương ứng được ký hiệu $\|u\|_2$. Cho $u \in \mathrm{HS}(E, F)$; ta xác định các dạng toàn phương dương $Q_u$ và H trên E bởi $Q_u(x) = \|u(x)\|^2$ và $H(x) = \|x\|^2$. Chứng minh rằng $\|u\|_2^2 = \mathrm{Tr}(Q_u/H)$.

c) Cho $E_1$ và $F_1$ là hai không gian Hilbert thực, và $u : E_1 \to E, v : F \to F_1$ là các ánh xạ tuyến tính liên tục. Gọi $\varphi_1$ là đẳng cấu của $E_1 \otimes_2 F_1$ lên $\mathrm{HS}(E_1, F_1)$ được xác định theo một cách tương tự như $\varphi$. Chứng minh rằng $v \circ \varphi(t) \circ u = \varphi_1((u^* \otimes v)(t))$ với mọi $t \in E \otimes_2 F$. Từ đó, suy ra rằng với mọi ánh xạ Hilbert–Schmidt w của E vào F, ánh xạ tuyến tính $v \circ w \circ u$ của $E_1$ vào $F_1$ là Hilbert–Schmidt, và rằng $\|v \circ w \circ u\|_2 \leq \|v\| \cdot \|w\|_2 \cdot \|u\|$.