Exercice 9, Annexe 0

Soient $E$ et $F$ deux espaces hilbertiens réels.

a) Montrer qu’il existe une application linéaire continue $\varphi$ de $E \otimes_2 F$ dans $\mathscr{L}(E; F)$ caractérisée par $\varphi(x \otimes y)(x') = (x|x') \cdot y$ pour $x, x'$ dans $E$ et $y$ dans $F$. Montrer que $\varphi$ est de norme 1, et que $\varphi(E \otimes F)$ est l’ensemble des applications linéaires continues de rang fini de $E$ dans $F$.

b) Montrer que $\varphi$ est une bijection de $E \otimes_2 F$ sur l’ensemble $HS(E, F)$ des applications linéaires de Hilbert–Schmidt de $E$ dans $F$ (utiliser l’exerc. 8, c) et la prop. 3). On munit $HS(E, F)$ de la structure d’espace hilbertien déduite de celle de $E \otimes_2 F$ par la bijection $\varphi$; la norme correspondante est notée $\|u\|_2$. Soit $u \in HS(E, F)$; on définit les formes quadratiques positives $Q_u$ et $H$ sur $E$ par $Q_u(x) = \|u(x)\|^2$ et $H(x) = \|x\|^2$. Montrer que l’on a $\|u\|_2^2 = \operatorname{Tr}(Q_u/H)$.

c) Soient $E_1$ et $F_1$ deux espaces hilbertiens réels, et $u : E_1 \to E, v : F \to F_1$ des applications linéaires continues. Soit $\varphi_1$ l’isomorphisme de $E_1 \otimes_2 F_1$ sur $HS(E_1, F_1)$ défini de manière analogue à $\varphi$. Montrer que l’on a $v \circ \varphi(t) \circ u = \varphi_1((u^* \otimes v)(t))$ pour tout $t \in E \otimes_2 F$. En déduire que, pour toute application de Hilbert–Schmidt $w$ de $E$ dans $F$, l’application linéaire $v \circ w \circ u$ de $E_1$ dans $F_1$ est de Hilbert–Schmidt et que l’on a $\|v \circ w \circ u\|_2 \leq \|v\| \cdot \|w\|_2 \cdot \|u\|$.