习题 1, 附录 0

令 E 为特征 $\neq 2$ 的有限维向量空间超过交换域。用 H 表示 E 上的非简并二次形式，用 S 表示 $E \times E$ 上的对称双线性形式，使得 $H(x) = S(x, x)$ 对于 E 中的所有 $x$。设 Q 是 E 上的二次形式。

a) E 中存在自同态 $u$，其特征为关系 $Q(x) = S(u(x), x)$ 和 $S(u(x), y) = S(x, u(y))$，对于 E 中的所有 $x$ 和 $y$。其中一个集合 $\operatorname{Tr}(Q/H) = \operatorname{Tr}(u)$。

b) 概括 No. 1 中的注 3。

c) 如果 $(e_i)_{1 \leq i \leq m}$ 是 H 的 E 正交的基，则 $\operatorname{Tr}(Q/H) = \sum_{i=1}^m Q(e_i)$。