Bài tập 1, Phụ lục 0

Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán có đặc số $\neq 2$. Ký hiệu H là một dạng toàn phương không suy biến trên E, và S là dạng song tuyến tính đối xứng trên $E \times E$ sao cho $H(x) = S(x, x)$ với mọi $x$ trong E. Cho Q là một dạng toàn phương trên E.

a) Tồn tại một tự đồng cấu $u$ của E được đặc trưng bởi các hệ thức $Q(x) = S(u(x), x)$ và $S(u(x), y) = S(x, u(y))$ với mọi $x$ và $y$ trong E. Ta đặt $\operatorname{Tr}(Q/H) = \operatorname{Tr}(u)$.

b) Tổng quát hóa Nhận xét 3 của No. 1.

c) Nếu $(e_i)_{1 \leq i \leq m}$ là một cơ sở trực chuẩn của E đối với H, thì $\operatorname{Tr}(Q/H) = \sum_{i=1}^m Q(e_i)$.