Exercice 1, Annexe 0

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif de caractéristique $\neq 2$. On note $H$ une forme quadratique non dégénérée sur $E$, et $S$ la forme bilinéaire symétrique sur $E \times E$ telle que $H(x) = S(x, x)$ pour tout $x$ dans $E$. Soit $Q$ une forme quadratique sur $E$.

a) Il existe un endomorphisme $u$ de $E$ caractérisé par les relations $Q(x) = S(u(x), x)$ et $S(u(x), y) = S(x, u(y))$ quels que soient $x$ et $y$ dans $E$. On pose $\mathrm{Tr}(Q/H) = \mathrm{Tr}(u)$. b) Généraliser la remarque 3 du n° 1. c) Si $(e_i)_{1 \leq i \leq m}$ est une base de $E$ orthonormale pour $H$, on a $\mathrm{Tr}(Q/H) = \sum_{i=1}^m Q(e_i)$.