习题 2, 附录 0

设 E 为实希尔伯特空间，Q 为 E 上的连续正二次方程形式，H 为 E 上的二次方程形式 $x \mapsto \|x\|^2$。

a) 证明对于 E 的每个正交规范基 $(e_i)_{i \in I}$，$\operatorname{Tr}(Q/H) = \sum_{i \in I} Q(e_i)$。（令 $(a_1, \ldots, a_p)$ 是 E 中的有限正交规范族；对于每个 $\varepsilon > 0$，存在 I 和元素 $a'_1, \ldots, a'_p$ 的有限子集 J，分别为$e_i$的线性组合对于$i \in J$来说是$\|a_j - a'_j\| < \varepsilon$对于$1 \leq j \leq p$然后是$\sum_{j=1}^p Q(a'_j) \leq \sum_{i \in J} Q(e_j) \leq \sum_{i \in I} Q(e_i)$。 由此推导出 $\sum_{j=1}^p Q(a_j) \leq \sum_{i \in I} Q(e_i)$。）

b) 从a) 推导出命题3 的新证明。

c) Let $E_0$ be a dense linear subspace of E, $Q_0$ (resp. $H_0$) the restriction of Q (resp. H) to $E_0$. 证明$\operatorname{Tr}(Q/H) = \operatorname{Tr}(Q_0/H_0)$。 （令 $(e_1, \ldots, e_n)$ 为 E 中线性无关的序列，生成的子空间 F。 用Q（分别H）到F的$Q_F$（分别$H_F$）限制表示。 使用No. 1的注 3，证明$\operatorname{Tr}(Q_F/H_F)$是$(e_1, \ldots, e_n)$的连续函数。）