Exercice 2, Annexe 0

Soient $E$ un espace hilbertien réel, $Q$ une forme quadratique positive continue sur $E$, et $H$ la forme quadratique $x \mapsto \|x\|^2$ sur $E$. a) Montrer que l’on a $\mathrm{Tr}\left(Q/H\right) = \sum_{i \in I} Q(e_i)$ pour toute base orthonormale $(e_i)_{i \in I}$ de $E$. (Soit $(a_1, \ldots, a_p)$ une famille orthonormale finie dans $E$; pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie finie $J$ de $I$ et des éléments $a'_1, \ldots, a'_p$ combinaisons linéaires des $e_i$ pour $i \in J$, et tels que $\|a_j - a'_j\| < \varepsilon$ pour $1 \leq j \leq p$; on a $\sum_{j=1}^p Q(a'_j) \leq \sum_{i \in J} Q(e_j) \leq \sum_{i \in I} Q(e_i)$. En déduire $\sum_{j=1}^p Q(a_j) \leq \sum_{i \in I} Q(e_i)$). b) Déduire de a) une nouvelle démonstration de la prop. 3. c) Soient $E_0$ un sous-espace vectoriel dense de $E$, $Q_0$ (resp. $H_0$) la restriction de $Q$ (resp. $H$) à $E_0$. Montrer que l’on a $\mathrm{Tr}(Q/H) = \mathrm{Tr}(Q_0/H_0)$. (Soit $(e_1, \ldots e_n)$ une suite linéairement indépendante dans $E$, engendrant un sous-espace $F$. On note $Q_F$ (resp. $H_F$) la restriction de $Q$ (resp. $H$) à $F$. En utilisant la Remarque 3 du n° 1, montrer que $\mathrm{Tr}(Q_F/H_F)$ est fonction continue de $(e_1, \ldots, e_n)$.)