Bài tập 2, Phụ lục 0

Cho E là một không gian Hilbert thực, Q là một dạng toàn phương dương liên tục trên E, và H là dạng toàn phương $x \mapsto \|x\|^2$ trên E.

a) Chứng minh rằng $\operatorname{Tr}(Q/H) = \sum_{i \in I} Q(e_i)$ với mọi cơ sở trực chuẩn $(e_i)_{i \in I}$ của E. (Cho $(a_1, \ldots, a_p)$ là một họ trực chuẩn hữu hạn trong E; với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con hữu hạn J của I và các phần tử $a'_1, \ldots, a'_p$ là các tổ hợp tuyến tính của các $e_i$ với $i \in J$ và sao cho $\|a_j - a'_j\| < \varepsilon$ với $1 \leq j \leq p$; khi đó $\sum_{j=1}^p Q(a'_j) \leq \sum_{i \in J} Q(e_j) \leq \sum_{i \in I} Q(e_i)$. Suy ra từ đó rằng $\sum_{j=1}^p Q(a_j) \leq \sum_{i \in I} Q(e_i)$.)

b) Suy ra từ a) một chứng minh mới của Mệnh đề 3.

c) Cho $E_0$ là một không gian con tuyến tính trù mật của E, $Q_0$ (tương ứng $H_0$) là hạn chế của Q (tương ứng H) lên $E_0$. Chứng minh rằng $\operatorname{Tr}(Q/H) = \operatorname{Tr}(Q_0/H_0)$. (Cho $(e_1, \ldots, e_n)$ là một dãy độc lập tuyến tính trong E, sinh ra một không gian con F. Ký hiệu $Q_F$ (tương ứng $H_F$) là hạn chế của Q (tương ứng H) lên F. Dùng Nhận xét 3 của No. 1, chứng minh rằng $\operatorname{Tr}(Q_F/H_F)$ là một hàm liên tục của $(e_1, \ldots, e_n)$.)