§ 7. 。与诱导措施相关的积分

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§ 7。与诱导措施相关的积分

1. 相对于诱导测量的积分

令 $X$ 为 $T$ 的局部紧凑子空间， $\mu$ 为 $T$ 的正测度， $\mu_X$ 为 $\mu$ 在 $X$ 上引发的测度（第IV, §5, No. 7）。对于每个 $t \in T$ ，让我们按以下方式在 $\lambda_t$ *上* $X$ 测量定义：如果 $t \in X$ 则 $\lambda_t = \varepsilon_t$ ，如果 $t \in \mathbf{C}X$ 则 $\lambda_t = 0$ 。对于在 $X$ 、 $\int g(x) d\lambda_t(x) = g(t)$ （如果 $t \in X$ ）和 $\int g(x) d\lambda_t(x) = 0$ （如果 $t \in \mathbf{C}X$ ）上定义的每个有限数值函数 $g$ 。如果 $\mathscr{K}(X)$ 中 $g$ 是函数，那么我们可以通过 $\mu_X$ 的定义，

\mu_X(g) = \int \langle g, \lambda_t \rangle d\mu(t) .

这意味着人们可以写

\mu_X = \int \lambda_t d\mu(t)

（§3, No. 1）。

现在让我们将 T 的定义映射 $\pi$ 转换为 X，对于 $t \in X$ ，通过设定 $\pi(t) = t$ ，对于 $t \in \mathbf{C}X$ ， $\pi(t) = t_0$ ， $t_0$ 是任意点 X；每个 $t \in T$ 可以写出 $\lambda_t = \varphi_X(t)\varepsilon_{\pi(t)}$ 。映射 $\pi$ 是 $\mu$ 可测的，因为它的限制到 X 和 $\mathbf{C}X$ 是（第 IV, §5, No. 10 章，第 16 条命题）；由此可见，对 $(\pi, \varphi_X)$ 是 $\mu$ 适合的（§4, No. 1）。因此我们得到以下结果：

命题 1 0963

— 对于每个数字函数 $g \geqslant 0$ 定义于 X，

\int^\bullet g\,d\mu_X = \int_X g\,d\mu

引用了 2 · 被以下引用 7

引用了 V § 5. 。由数值密度定义的度量, 定理 1, V § 4

被以下引用引理 2, IX § 1, 命题 2, IX § 1, 命题 3, IX § 1, 注, 学院, 命题 3, 命题 8, VI § 2

（cf.§5, No. 3，*例*，记号 $\int_X^\bullet$ ）。

考虑到前面的注和(2)，关系(3)由Th推出。 1 个§4。

推论 1 0964

— 对于每个子集 B of X, $\mu_X^\bullet(B) = \mu^\bullet(B)$ ；对于B 在本地 $\mu_X$ *-可忽略不计，*B 在本地 $\mu$ *-可忽略*是必要且充分的。

推论 2 0965

— 设 M 为 T 的子集。*如果* $\mu$ 集中于 M，*则* $\mu_X$ 集中于 $M \cap X$ 。

被以下引用 1

被以下引用注

推论 3 0966

— 对于测量 $\mu_X$ 为零， X 在本地 $\mu$ *-可忽略*是必要且充分的。

注 0967

— 如果 S 是 $\mu$ 的支持，则 $S \cap X$ （在 X 中闭合）包含 Cor 的 $\mu_X$ 的支持。 2，但可能与它不同。对于例，如果 $\mu$ 是扩散测度并且X是子空间减少到点，那么诱导测度 $\mu_X$ 是零，因此它的支撑是空的。然而，注，如果X在T中开放， $\mu_X$ 的支持度等于 $S \cap X$ 。

引用了 1

引用了推论 2

命题 2 0968

— *对于 * X 的映射 g * 到拓扑空间为* $\mu_X$ * 可测量，* g * 为* $\mu$ * 可在 * X *(§5, No. 3, 例)*。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 V § 5. 。由数值密度定义的度量, 命题 3, V § 4

被以下引用注

这是从§4 的第 3 号提案得出的。

推论 0969

— 对于 X 的子集 B 为 $\mu_X$ *可测量，* B 为 $\mu$ *可测量*是必要且充分的。

定理 1 096A

— Let g be a function defined on X, with values in $\overline{\mathbf{R}}$ or in a Banach space. 对于 g 本质上 $\mu_X$ *可积， $g$ 本质上 $\mu$ 可在 $X$ （§ 5, No. 3，例）中可积是必要*且充分的，在这种情况下

\int g \, d\mu_X = \int_X g \, d\mu.

引用了 2 · 被以下引用 6

引用了 V § 5. 。由数值密度定义的度量, 定理 2, V § 4

被以下引用注, 学院, 推论 2, 推论, VI § 1, 命题 2, VI § 1, 推论 1, VI § 2

这是从 Th 得出的。 2 个§ 4。

推论 1 096B

对于 X 的子集 B 本质上 $\mu_X$ 可积，它本质上 $\mu$ 可积是必要且充分的，在这种情况下 $\mu_X(B) = \mu(B)$ 。

推论 2 096C

设 g 为在 T 上定义且局部 $\mu$ 可积的复数函数； g 到 X 的限制 $g_X$ 则可局部 $\mu_X$ 可积，并且

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 IV § 5. 。可测量函数和集合, 定理 1

被以下引用推论 3

(g \cdot \mu)_X = g_X \cdot \mu_X.

这是从 Th 立即得出的。 1，应用于函数 $fg_X$ ( $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ )，以及由复杂测度（第 IV, § 5, No. 7）在 X 上引发的测度的定义。

推论 3 096D

令 $\theta$ 为 T 上的复测度；然后

引用了 3 · 被以下引用 2

引用了命题 2, V § 5, 推论 3, V § 5, 推论 2

被以下引用注, 学院

|\theta|_X = |\theta_X|.

集合 $|\theta| = \mu$ 并应用 Cor. 2 将 $g$ 视为绝对值 1 的复数函数，使得 $\theta = g \cdot \mu$ （§ 5, No. 5，Th. 2 的 Cor. 3）；然后 $\theta_X = g_X \cdot \mu_X$ ；但 $g_X$ 是值1的绝对值函数，公式(6)由§ 5, No. 2的命题2得出。

注 096E

— a) Cor. 3已经被另一个方法证明（第IV, § 5, No. 7，引理3）。 b) 凭借 Cor. 3、命题1、命题2、定理1的推论1,2,3及其推论1,2扩展同时到一个复杂的测度。

引用了 5

引用了引理 3, IV § 5, 推论 3, 命题 1, 命题 2, 定理 1

学院 096F

— For every function $f$ (resp. $g$ ) defined on $X$ (resp. $T$ ) with values in the Banach space $F$ or in $\overline{\mathbf{R}}$ , let us denote by $\zeta(f)$ (resp. $\rho(g)$ ) the extension by 0 of $f$ to $T$ (resp. the restriction of $g$ to $X$ ). 然后 $\zeta(\rho(g)) = \varphi_X \cdot g$ ， $\rho(\zeta(f)) = f$ 。我们用 $\mu'$ 表示 $T$ 上的 $\varphi_X \cdot \mu$ 测度。对于每个 $p \in [1, +\infty]$ ，道具。 1和2意味着 $\zeta$ 映射 $\mathscr{L}_F^p(X, \mu_X)$ 进入 $\mathscr{L}_F^p(T, \mu')$ ，以及 $\rho$ 映射 $\mathscr{L}_F^p(T, \mu')$ 进入 $\mathscr{L}_F^p(X, \mu_X)$ ，在两种情况下都保留范数，以及 $p = 1$ （Th.1）时的积分；将经过代入关联的Hausdorff空间，我们得到两个互为逆的同构。类似地，如果将 $\zeta$ 和 $\rho$ 应用于正数值函数，则保留基本的上积分（命题1）。因此，如果我们同意 $X$ 上的认同函数以及 T 上的函数，即 X − T 上的零，并且措施 $\mu_X$ 和措施 $\mu'$ ，则有关诱导措施的问题会减少到有关由下式定义的措施的问题：密度，按§5处理。这种推理也适用于复杂的度量，Cor. 3 Th。 1.

引用了 3

引用了命题 1, 定理 1, 推论 3

2. 诱导测度的性质

命题 3 096G

— 令 X 为 T 的局部紧凑子空间，而 $\lambda$ 为 X 的复测度。以下属性是等效的： a) 典范嵌入 $i : X \to T$ 是 $\lambda$ -本征； b) 对于 T 的每个紧致子集 K， $K \cap X$ 本质上是 $\lambda$ 可积； c) 每个点 $t \in T$ 承认一个邻域V，使得 $V \cap X$ 本质上是 $\lambda$ 可积； d) T 上存在一个测度 $\theta$ ，使得 $\theta_X = \lambda$ 。如果满足这些等价的条件，我们就有 d) 中的记号，

(i(\lambda))_X = \lambda \quad \text{and} \quad i(\lambda) = i(\theta_X) = \varphi_X \cdot \theta .

引用了 3 · 被以下引用 2

引用了命题 1, V § 6, 命题 7, V § 6, 命题 1

被以下引用 III § 2. 。支持某项措施, 推论 2

单射 $i$ 是连续的，属性a)、b)和c)的等价来自§6的命题1，其后面的注应用于正测度 $|\lambda|$ 。如果通过 T 上的测度 $\theta$ 在 X 上导出 $\lambda$ ，则 $|\lambda| = |\theta|_X$ (公式 (6))，因此对于 T 的每个紧致子集 K 都有 $|\lambda|(K \cap X) = |\theta|(K \cap X) \leq |\theta|(K) < +\infty$ （命题 1），因而 d) 蕴涵 b)。假设满足a)，让我们证明 $(i(\lambda))_X = \lambda$ ，这将暗示d)。设g为 $\mathscr{H}(X; \mathbf{C})$ 的元素；用 $g'$ 扩张用 g 到 T 的 0 表示，我们有，用诱导测度的定义，然后用 §6, No. 4 的命题 7，

\int g \, d(i(\lambda))_X = \int g' \, d(i(\lambda)) = \int (g' \circ i) \, d\lambda = \int g \, d\lambda .

这样就完成了四个属性中的等价中的证明。如果 $\lambda = \theta_X$ 和 $g \in \mathscr{H}(T; \mathbf{C})$ ，那么

\int g \, d(i(\theta_X)) = \int (g \circ i) \, d(\theta_X) = \int g \varphi_X \, d\theta ,

因为 $g \varphi_X$ 是扩张乘以 $g \circ i$ 的0到T。这就证明了(7)的第二个公式。

推论 1 096H

— 如果 X 是闭合的，则 X 上的每个复杂测度 $\lambda$ 都是由 T 上的测度引发的。

因为，如果 T 中 K 为紧集，则 K ∩ X 是紧致的，因此是 λ 可积的。

推论 2 096I

— 令 θ 为 T 上的复测度，π 将 T 的 θ-proper 映射转换为局部紧凑的空间 Y，并且 π_X 为限制到 X。那么 π_X 就是 θ_X-proper，并且 π_X(θ_X) = π(φ_X · θ)。

引用了 2

引用了命题 4, V § 6, 命题 3

对于，π_X = π ∘ i，其中 i 为典范嵌入 X → T。当 θ 为正时，推论因此可以从命题 3 和像度量的传递性推导出来（§6, No. 3，命题 4）。非正复测度的情况则遵循线性。

命题 4 096J

— 令 X 和 Y 为 T 的两个局部紧凑子空间，使得 Y ⊂ X。如果 θ 是 T 上的复测度，则 θ_X 在 Y 上引发的测度 (θ_X)_Y 等于 θ_Y（“引发测度的传递性”）。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 8, V § 5

被以下引用 IX § 1. 。拓扑空间上的预测量和测量, 命题 3, IX § 1

只要观察到，如果 g 是 $\mathscr{H}(Y; \mathbf{C})$ 的元素，则可以通过将 g 的 0 扩张扩展到 X 来获得扩张乘以 0 的 g 到 T，或者再次利用 Scholium 的标识，即 $\varphi_Y · \theta = \varphi_Y(\varphi_X · \theta)$ （§5, No. 4，提案 8）。

命题 5 096K

— 令 $(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A}$ 为 T 上的递增有向测度族，承认上确值 λ，并令 X 为 T 的局部紧致子空间。诱导测度族 $\lambda_\alpha|X$ 的上界为 $\mathscr{M}(X)$ ，并且

\sup_{\alpha \in A} (\lambda_\alpha|X) = \lambda|X.

引用了 1

引用了命题 5, V § 5

从学界的认定来看，这个命题是§5, No. 4第5号提案的特例。

推论 096L

— 令 $(\mu_i)_{i \in I}$ 为 T 上的正测度的可求和族，其中和 μ。然后可对诱导测度族 $\mu_i|X$ 进行求和，并且

\sum_{i \in I} (\mu_i|X) = \mu|X.

命题 6 096M

— 令 $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ 为 T 到 $\mathscr{M}_+(X)$ 的 μ 充分映射，其中 X 为无穷大可数的局部紧致空间，并令 Y 为 X 的局部紧致子空间。集合 $\int \lambda_t d\mu(t) = \nu$ 。 T 的映射 $t \mapsto \lambda_t|Y$ 进入 $\mathscr{M}_+(Y)$ 则 μ 是足够的，并且

\int (\lambda_t|Y) d\mu(t) = \nu|Y.

引用了 1

引用了命题 7, V § 5

考虑到学院的鉴定，这个命题是§5, No. 4第7号提案的特例。

习题

参见习题为 § 7。