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§ 2。积极措施的总结系列
1. 定义可求和的测度族
设( λ α ) α ∈ A (\lambda_\alpha)_{\alpha \in A} ( λ α ) α ∈ A ( λ α ) α ∈ A (\lambda_\alpha)_{\alpha \in A} ( λ α ) α ∈ A M ( X ) \mathscr{M}(X) M ( X ) f ∈ K ( X ) f \in \mathscr{K}(X) f ∈ K ( X ) λ α ( f ) \lambda_\alpha(f) λ α ( f ) R \mathbf{R} R K ( X ) \mathscr{K}(X) K ( X ) f ↦ ∑ α ∈ A λ α ( f ) f \mapsto \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha(f) f ↦ ∑ α ∈ A λ α ( f ) ν \nu ν ( λ α ) (\lambda_\alpha) ( λ α ) ν \nu ν
由于K ( X ) \mathscr{K}(X) K ( X ) K + ( X ) \mathscr{K}_+(X) K + ( X ) ( λ α ) (\lambda_\alpha) ( λ α )
∑ α ∈ A λ α ( f ) < + ∞
\sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha(f) < +\infty
α ∈ A ∑ λ α ( f ) < + ∞ 每函数f ∈ K + ( X ) f \in \mathscr{K}_+(X) f ∈ K + ( X )
(2)
∑ α ∈ A λ α ( K ) < + ∞
\sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha(K) < +\infty
α ∈ A ∑ λ α ( K ) < + ∞ K ⊂ X K \subset X K ⊂ X 对于，(2) 蕴涵(1)，因为f ≤ ∥ f ∥ ⋅ φ S f \leq \|f\| \cdot \varphi_S f ≤ ∥ f ∥ ⋅ φ S f f f f ∈ K + ( X ) f \in \mathscr{K}_+(X) f ∈ K + ( X ) φ K ≤ f \varphi_K \leq f φ K ≤ f
2. 积极措施和的整合
在整个No. 中，X表示局部紧凑空间，( λ α ) α ∈ A (\lambda_\alpha)_{\alpha \in A} ( λ α ) α ∈ A ν \nu ν ∑ α ∈ A λ α \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha ∑ α ∈ A λ α
— 令 f 为在 X 上定义的正数函数。然后
ν ∙ ( f ) = ∑ α ∈ A λ α ∙ ( f ) .
\nu^\bullet(f) = \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha^\bullet(f).
ν ∙ ( f ) = α ∈ A ∑ λ α ∙ ( f ) . 引用了 3 · 被以下引用 7 引用了 命题 11, V § 1 , 命题 3, V § 1 , 注 1
被以下引用 命题 3 , 命题 11, V § 3 , 命题 2, V § 3 , 命题 3, V § 3 , 定理 1, V § 4 , 命题 7, V § 8 , 命题 8, V § 8
这是从注 1、§1, No. 3第11号提案和§1, No. 1第3号提案得出的。
— *对于每个紧凑型（分别是开放型和相对紧凑型）子集 M of X，
ν ( M ) = ∑ α ∈ A λ α ( M ) .
\nu(M) = \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha(M).
ν ( M ) = α ∈ A ∑ λ α ( M ) .
— *为了使 X 的子集 N 局部 ν \nu ν α ∈ A \alpha \in A α ∈ A λ α \lambda_\alpha λ α
被以下引用 2 被以下引用 命题 4, V § 3 , 命题 12, V § 5
— *对于每个函数 f ∈ F + ( X ) f \in \mathscr{F}_+(X) f ∈ F + ( X )
ν ∗ ( f ) ≥ ∑ α ∈ A λ α ∗ ( f ) .
\nu^*(f) \geq \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha^*(f).
ν ∗ ( f ) ≥ α ∈ A ∑ λ α ∗ ( f ) .
如果 f f f ν \nu ν ν ∗ ( f ) = + ∞ \nu^*(f) = +\infty ν ∗ ( f ) = + ∞ § 1 § 1 §1 f f f ν \nu ν α ∈ A \alpha \in A α ∈ A f f f λ α \lambda_\alpha λ α ν \nu ν λ α \lambda_\alpha λ α § 1 § 1 §1
即使A A A λ α \lambda_\alpha λ α § 1 § 1 §1
— *令 f f f X X X G G G f f f ν \nu ν α ∈ A \alpha \in A α ∈ A f f f λ α \lambda_\alpha λ α
被以下引用 6 被以下引用 推论 2 , 命题 2, V § 3 , 命题 6, V § 3 , 命题 10, V § 8 , 命题 11, V § 8 , 命题 2, V § 8
这是从 Cor 立即得出的结论。 § 1 § 1 §1
— *为了将 X X X f f f F F F ν \nu ν f f f α ∈ A \alpha \in A α ∈ A λ α \lambda_\alpha λ α
∑ α ∈ A ∫ ∙ ∣ f ∣ d λ α < + ∞ .
\sum_{\alpha \in A} \int^\bullet |f| \, d\lambda_\alpha < +\infty .
α ∈ A ∑ ∫ ∙ ∣ f ∣ d λ α < + ∞. 引用了 1 · 被以下引用 4 引用了 命题 1
被以下引用 推论 1 , 推论 2 , 定理 2, V § 4 , 定义 6, VI § 2
家庭( ∫ f d λ α ) α ∈ A (\int f \, d\lambda_\alpha)_{\alpha \in A} ( ∫ f d λ α ) α ∈ A F F F
∫ f d ν = ∑ α ∈ A ∫ f d λ α .
\int f \, d\nu = \sum_{\alpha \in A} \int f \, d\lambda_\alpha .
∫ f d ν = α ∈ A ∑ ∫ f d λ α . 事实上，对于f f f ν \nu ν λ α \lambda_\alpha λ α f f f ν \nu ν λ α \lambda_\alpha λ α ν ∙ ( ∣ f ∣ ) < + ∞ \nu^\bullet(|f|) < +\infty ν ∙ ( ∣ f ∣ ) < + ∞ λ α ∙ ( ∣ f ∣ ) < + ∞ \lambda_\alpha^\bullet(|f|) < +\infty λ α ∙ ( ∣ f ∣ ) < + ∞ § 1 § 1 §1 f f f ν \nu ν
∑ α ∈ A ∣ ∫ f d λ α ∣ ≤ ∑ α ∈ A ∫ ∣ f ∣ d λ α = ν ( ∣ f ∣ )
\sum_{\alpha \in A} \left| \int f \, d\lambda_\alpha \right| \leq \sum_{\alpha \in A} \int |f| \, d\lambda_\alpha = \nu(|f|)
α ∈ A ∑ ∫ f d λ α ≤ α ∈ A ∑ ∫ ∣ f ∣ d λ α = ν ( ∣ f ∣ ) 意味着族( ∫ f d λ α ) (\int f \, d\lambda_\alpha) ( ∫ f d λ α ) F F F L F 1 ( ν ) \mathscr{L}_F^1(\nu) L F 1 ( ν ) f f f f ∈ L F 1 ( ν ) f \in \mathscr{L}_F^1(\nu) f ∈ L F 1 ( ν ) L F 1 ( ν ) \mathscr{L}_F^1(\nu) L F 1 ( ν ) H \mathscr{H} H L F 1 ( ν ) \mathscr{L}_F^1(\nu) L F 1 ( ν ) f ⋅ a f \cdot a f ⋅ a a ∈ F a \in F a ∈ F f f f H = L F 1 ( ν ) \mathscr{H} = \mathscr{L}_F^1(\nu) H = L F 1 ( ν )
命题3也可以从积分上的一般定理推导出来，这将在§3（No. 3，Th.1）中证明。
— 假设f f f ν \nu ν f f f α ∈ A \alpha \in A α ∈ A λ α \lambda_\alpha λ α A A A f f f α ∈ A \alpha \in A α ∈ A λ α \lambda_\alpha λ α f f f ν \nu ν
引用了 3 · 被以下引用 1 引用了 命题 15, IV § 1 , 推论, V § 1 , 命题 3
被以下引用 推论 2
如果f f f ν \nu ν f f f ν \nu ν ν \nu ν α ∈ A \alpha \in A α ∈ A f f f λ α \lambda_\alpha λ α λ α \lambda_\alpha λ α λ α \lambda_\alpha λ α A A A f f f α ∈ A \alpha \in A α ∈ A λ α \lambda_\alpha λ α f f f ν \nu ν ν ∗ ( ∣ f ∣ ) < + ∞ \nu^*(|f|) < +\infty ν ∗ ( ∣ f ∣ ) < + ∞ ν ∗ = ∑ α ∈ A λ α ∗ \nu^* = \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha^* ν ∗ = ∑ α ∈ A λ α ∗
— 令θ \theta θ X X X θ 1 = ( ℜ θ ) + \theta_1 = (\Re \theta)^+ θ 1 = ( ℜ θ ) + θ 2 = ( ℜ θ ) − \theta_2 = (\Re \theta)^- θ 2 = ( ℜ θ ) − θ 3 = ( ℑ θ ) + \theta_3 = (\Im \theta)^+ θ 3 = ( ℑ θ ) + θ 4 = ( ℑ θ ) − \theta_4 = (\Im \theta)^- θ 4 = ( ℑ θ ) − X X X f f f G G G F F F θ \theta θ θ i \theta_i θ i i = 1 , 2 , 3 , 4 i = 1, 2, 3, 4 i = 1 , 2 , 3 , 4
引用了 3 引用了 命题 2 , 命题 3 , 推论 1
If f f f θ \theta θ f f f ∣ θ ∣ |\theta| ∣ θ ∣ θ i \theta_i θ i ≤ ∣ θ ∣ \leq |\theta| ≤ ∣ θ ∣ f f f θ i \theta_i θ i f f f θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 \theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4 θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 ≥ ∣ θ ∣ \geq |\theta| ≥ ∣ θ ∣
3. 分解的措施相当于和的措施，具有紧凑的支持
— 令μ \mu μ T T T K \mathfrak{K} K T T T μ \mu μ T T T ( μ α ) α ∈ A (\mu_\alpha)_{\alpha \in A} ( μ α ) α ∈ A μ = ∑ α ∈ A μ α \mu = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha μ = ∑ α ∈ A μ α μ α \mu_\alpha μ α K \mathfrak{K} K
引用了 2 · 被以下引用 12 引用了 命题 14, IV § 5 , 命题 5, V § 1
被以下引用 习题 4, § 2 , 命题 11, V § 3 , 命题 2, V § 3 , 命题 3, V § 3 , 命题 6, V § 3 , 定理 1, V § 4 , 定理 2, V § 4 , 命题 10, V § 8 , 命题 11, V § 8 , 命题 2, V § 8 , 命题 7, V § 8 , 命题 8, V § 8
如果措施μ \mu μ A A A
考虑K \mathfrak{K} K ( K α ) α ∈ A (K_\alpha)_{\alpha \in A} ( K α ) α ∈ A N = T − ⋃ α ∈ A K α N = T - \bigcup_{\alpha \in A} K_\alpha N = T − ⋃ α ∈ A K α μ \mu μ
（第 IV, §5, No. 9 章，第 14 条提案）。对于每个函数 f ∈ K ( T ) f \in \mathscr{K}(T) f ∈ K ( T )
μ α ( f ) = μ ( f φ K α ) ;
\mu_\alpha(f) = \mu(f \varphi_{K_\alpha});
μ α ( f ) = μ ( f φ K α ) ; K ( T ) \mathscr{K}(T) K ( T ) 上的线性形式
μ α \mu_\alpha μ α 为正，因此是一项积极措施，
K α K_\alpha K α 中包含支持。由于
K \mathfrak{K} K 属于到
K \mathfrak{K} K 的元素中包含每个紧集，因此
Supp ( μ α ) ∈ K \operatorname{Supp}(\mu_\alpha) \in \mathfrak{K} Supp ( μ α ) ∈ K 代表所有
α ∈ A \alpha \in A α ∈ A 。剩下的只是证明族
( μ α ) (\mu_\alpha) ( μ α ) 是可求和的，并且它的和等于
μ \mu μ ，在其他字中，对于每个函数
f ∈ K + ( T ) f \in \mathscr{K}_+(T) f ∈ K + ( T ) ，
∑ α ∈ A μ α ( f ) = μ ( f ) \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha(f) = \mu(f) ∑ α ∈ A μ α ( f ) = μ ( f ) 。
现在，令S S S f f f A ′ A' A ′ α ∈ A \alpha \in A α ∈ A S ∩ K α ≠ ∅ S \cap K_\alpha \neq \varnothing S ∩ K α = ∅ N ∩ S N \cap S N ∩ S μ \mu μ
μ ( f ) = μ ( f φ S ) = ∑ α ∈ A ′ μ ( f φ S ∩ K α ) = ∑ α ∈ A ′ μ ( f φ K α ) = ∑ α ∈ A μ ( f φ K α ) = ∑ α ∈ A μ α ( f ) .
\begin{align*}
\mu(f) &= \mu(f \varphi_S) = \sum_{\alpha \in A'} \mu(f \varphi_{S \cap K_\alpha}) = \sum_{\alpha \in A'} \mu(f \varphi_{K_\alpha}) \\
&= \sum_{\alpha \in A} \mu(f \varphi_{K_\alpha}) = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha(f).
\end{align*}
μ ( f ) = μ ( f φ S ) = α ∈ A ′ ∑ μ ( f φ S ∩ K α ) = α ∈ A ′ ∑ μ ( f φ K α ) = α ∈ A ∑ μ ( f φ K α ) = α ∈ A ∑ μ α ( f ) . 这样就完成了一般情况的证明。如果
μ \mu μ 受到调节，则集合
T T T 是
μ \mu μ 调节，因此
T T T 是序列
( L n ) (L_n) ( L n ) 并紧集以及可忽略不计的集合 （§ 1, No. 2，提案 5）；令
A ′ A' A ′ 为
α ∈ A \alpha \in A α ∈ A 的可数集合，使得
K α K_\alpha K α 与
L n L_n L n 之一相交。然后
μ α = 0 \mu_\alpha = 0 μ α = 0 对应
α ∉ A ′ \alpha \notin A' α ∈ / A ′ ，紧接着是叙述的最后一句。
习题
参见习题为 § 2 。