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章 IX

Hausdorff 拓扑空间的测量

如果T是集合，A是T的子集，我们用$\varphi_A$表示A的特征函数，前提是这不会导致任何混淆。 T 上定义的数值函数 $\geq 0$（有限或非有限）的集合 $\overline{\mathbf{R}}_+^T$ 将用 $\mathscr{F}_+(T)$ 表示，如果 T 没有歧义，则简单地用 $\mathscr{F}_+$ 表示；这个集合将始终配备其自然的阶结构。回想一下，由于$0 \cdot (+\infty) = 0$的约定，$\mathscr{F}_+$的两个元素中的乘积总是被定义的。如果A是T的子集，并且f是在T上定义的函数，则f到A的限制$f|A$可以在这个章中表示为$f_A$，如果这不会造成混淆；类似的记号将用于诱导措施。另一方面，如果$f \in \mathscr{F}_+(A)$我们将用f到T的0来表示$f^0$扩张，即在T上定义函数，在A上用f定义重合，在$T - A$上用0定义重合。

在这个章中考虑的所有拓扑空间都被假定为 Hausdorff，除非明确提及相反。从§1, No. 4开始，除§5外，所有措施将被假定为积极的，除非明确提及相反的情况。